Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 42
Expresse e como polinômios de Maclaurin de grau e use-os para calcular
Passo 1
Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:
Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso , e fazer as derivadas para achar o seu padrão.
Ele quer os polinômios de Maclaurin, que é o polinômio de Taylor centrado no .
Então, vamos ter:
Para ambas as funções.
Vamos começar fazendo o polinômio de Taylor de
Passo 2
Temos:
Derivar essa função um monte de vezes vai ser uma coisa de maluco. Então temos que usar o polinômio de Taylor da função e depois trocar o por .
Vamos fazer:
E
Vamos para as derivadas agora, vamos ter:
Fazendo as derivadas:
Então vamos ter:
Passo 3
O polinômio de Maclaurin de vai ser:
Abrindo o polinômio:
Temos que colocar no lugar do
Como ele pediu o de grau , vamos pegar só até o
Passo 4
Temos:
Vamos ter:
Vamos para as derivadas agora, vamos ter:
Fazendo as derivadas:
Então vamos ter:
Passo 5
O polinômio de Maclaurin de vai ser:
Substituindo os valores:
Passo 6
O nosso limite vai ficar: