Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 51

Suponha que determina negócio produza um fuxo contínuo de renda e que em t anos a partir de agora a renda seja dada por 1000 t - 300 . Qual o valor atual de todo o rendimento futuro se 8 % ao ano for a taxa de juros compostos continuamente?

Passo 1

Vamos começar achando o valor atual de renda de acordo com o pagamento de rendimentos do governo britânico que ele falou

Bem, para acharmos o valor atual da renda, devemos fazer a seguinte integral:

V = ∫ 0 + ∞ f t e - i t d t

Onde f t é a função de rendimento.

A função rendimento vai ser:

f t = 1000 t - 300

E

i = 8 % = 0,08

Então, o que temos que calcualr e:

V = ∫ 0 + ∞ 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 0 + ∞ 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t

Passo 2

Vamos comerçar resolvendo a integral:

∫ 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t

Vamos usar integração por partes. Onde fazemos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Lembrando do LIATE para escolher o u , temos uma função algébrica ali, então

u = 1000 t - 300 → d u = 1000 d t  

E

d v = e - 0,08 t → v = - 1 0,08 e - 0,08 t = - 12,5 e - 0,08 t

Assim, nossa integral fica:

∫ 1000 t - 300 t e - i t   d t = 1000 t - 300 - 12,5 e - 0,08 t - ∫ - 12,5 e - 0,08 t 1000 d t

∫ 1000 t - 300 t e - i t   d t = - 12500 t - 3 75 0 e - 0,08 t + 12500 ∫ e - 0,08 t d t

∫ 1000 t - 300 t e - i t   d t = - 12500 t - 3750 e - 0,08 t + 12500 - 1 0,08 e - 0,08 t + C

∫ 1000 t - 300 t e - i t   d t = - 12500 t - 3750 e - 0,08 t - 156250 e - 0,08 t + C

Passo 3

O nosso limite vai fiacr:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t = lim b → + ∞ ⁡ - 12500 t - 3750 e - 0,08 t - 156250 e - 0,08 t 0 b

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b - 156250 e - 0,08 b - - 12500 0 - 3750 e - 0,08 0 - 156250 e - 0,08 0

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b - 156250 e - 0,08 b - 3750 - 156250

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b - 156250 e - 0,08 b - 3750 - 156250

= lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b + 0 + 152500

Aquele limite que sobrou da indeterminação, vamos usar L’Hospital

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b = lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e 0,08 b = - ∞ ∞

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e 0,08 b = lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 ' e 0,08 b ' = lim b → + ∞ ⁡ - 12500 0,08 e 0,08 b = 0

Logo, a nossa integral fica

∫ 0 + ∞ 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t = 152500

Resposta

152500

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores de n para os quais a seguinte integral imprópria converge. ∫ e + ∞ d x x ln ⁡ x n
Determine os valores de n para os quais a seguinte integral imprópria converge. ∫ 1 + ∞ n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x
Para um determinado aparelho, a função densidade de probabildiaide de que ela irá precisar dse manutenção x meses após sua compra é dada por f x = 1 3 e - x 3 s e x ≥ 0 0 s e x0 Ache a probabilidade d
Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.23. ∫ 1 2 d x x x 2 - 1
Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.22. ∫ 0 2 x d x 1 - x