Enunciado

Expresse como uma integral definida:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3

Sugestão: considere a fução f para a qual f x = x 2 .

Passo 1

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Vamos manipular o somatório para ficar parecido com a expressão acima.

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = 8 lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i n 2 1 n = 8 lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 0 + i ⋅ 1 n 2 1 n

Perceba que trocando 1 n = 1 - 0 n por Δ x , conseguimos identificar qual seria a integral definida.

8 lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 0 + i ⋅ Δ x ⏟ x i 2 Δ x = 8 lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x

Em que f x = x 2 . Sendo assim,

8 lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 8 ∫ 0 1 x 2 d x = ∫ 0 1 8 x 2 d x

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = ∫ 0 1 8 x 2 d x

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = ∫ 0 1 8 x 2 d x

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