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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 14

Determinar a massa total e o centro de massa.

14.O comprimento da barra é 20cm e a densidade linear da barra em um ponto a xm de um extremo é (3x+2)g/cm.

Passo 1

Para começar precisamo entender que o centro de massa é o ponto em que podemos considerar que toda a massa do corpo está localizada ali.

Passo 2

Para encotrar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 20 ( 3 x + 2 ) d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = [ 3 2 x 2 + 2 x ] | 20 0  

M t = ( 3 2 ( 20 ) 2 + 2 ( 20 ) ) - ( 0 2 + 3 0 )

M t = 640 g

Achamos então a massa total da barra.

Passo 3

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = ∫ 0 20 x ( 3 x + 2 ) d x 640

x - = ∫ 0 20 ( 3 x 2 + 2 x ) d x 50

x - = 3 x 3 3 + 2 x 2 2 | 0 20 640

x - = 20 3 + 20 2 640

x - = 8400 640 = 13,125 c m

Resposta

Centro de massa: 13,125 c m

Massa total: 640 g

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