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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 16

Um tanque cilíndrico circular reto com a profundidade de 360 cm e um raio de 120 cm está cheio até a metade, com óleo pesando 1,2 g/cm³. Ache o trabalho realizado para se bombear o óleo a uma altura de 180 cm acima do tanque.

Passo 1

Vamos começar dando um referencial, o eixo y vertical com origem no topo do cilindro e com sentido positivo para baixo, já que nosso nível de óleo desce e assim resulta numa maior altura para o óleo ser levantado.

Passo 2

Agora vamos descobrir o trabalho contra a gravidade realizado para mover uma camada fina de óleo de espessura ∆ y . Pensamos na coluna como uma pilha de n camadas bem finas.

Nosso volume da camada é um disco com uma espessura ∆ y e sua base será dada pela área circular A = π r 2 .

A = 120 2 π

Também podemos concluir que:

V o l u m e   d a   c a m a d a = b a s e ⋅   a l t u r a =   A ⋅ ∆ y

M a s s a   d a   C a m a d a = d e n s i d a d e ⋅   v o l u m e = d ⋅ A ⋅ ∆ y

F o r ç a   n a   c a m a d a = f ( y ) = g ⋅ m a s s a = g ⋅ d ⋅ A ⋅ ∆ y

O trabalho requerido para levantar cada camada é igual a força vezes a distância a ser percorrida ( y + 180 ) , distância até a borda mais a distância acima do tanque. Assim nossa equação fica:

W = f y ⋅ ( y + 180 )

W =   g ⋅ d ⋅ A ⋅ ∆ y ⋅ ( y + 180 )

W =   g ⋅ d ⋅ ( 120 2 π ) ⋅ ∆ y ⋅ ( y + 180 )

Como queremos bombear para fora todo o tanque e ele está na metade, nosso y irá variar de [180, 360], já que nossa origem é no topo.

Passo 3

Agora vem a menina dos olhos desse exercício, queremos bombear todas as camadas desse tanque e para isso usamos a integral no trabalho:

W = ∫ 180 360 g ⋅ d ⋅ π ⋅ 120 2 ⋅ ( y + 180 ) ⋅ d y

Simbolicamente o ∆ y se transforma no d y da integral. Sabendo que a gravidade é g = 981 cm/s² e a densidade do óleo é d = 1,2   g / c m 3 podemos substituir os valores e extrair as constantes da integral:

W = 981 ⋅ 1,2 ⋅ π ⋅ 120 2 ∫ 180 360 ( y + 180 )   d y

W = 9810 π ⋅ 120 2   ∫ 180 360 ( y + 180 )   d y

Passo 4

Agora podemos resolver a integral encontrando as primitivas da função:

W = 16951680 π   1 2 y 2 + 180 y 180 360

E por fim fazer a subtração com os limites da integral:

W = 16951680 π ( 1 2 360 2 - 180 2 + 180 360 - 180

W = 16951680 π 48600 + 32400

W = 16951680 ⋅ 81000 π

W = 1373086080000 π   e r g s

Resposta

W = 1373086080000 π   e r g s

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