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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 34

Expresse como uma integral definida:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 i + n

Sugestão: considere a fução f para a qual f x = 1 x em [ 1,2 ] .

Passo 1

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Vamos manipular o somatório para ficar parecido com a expressão acima.

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 i + n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 n i n + 1 = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i 2 - 1 n 2 - 1 n

Perceba que trocando 1 n = 2 - 1 n por Δ x , conseguimos identificar qual seria a integral definida.

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i Δ x Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x

Em que f x = 1 x . Sendo assim,

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 i + n = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 1 + i Δ x Δ x = ∫ 1 2 1 x d x

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 i + n = ∫ 1 2 1 x d x

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 i + n = ∫ 1 2 1 x d x

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