Resolva os problemas de valor inicial:

dy/dx = 2 + sen(3x), y = π/3 = 0

Passo 1

Isso aí é uma EDO separável. A gente faz o seguinte:

d y = (2 + s e n 3 x) d x

E aí pra resolver a gente integra os dois lados:

int d y = int (2 + s e n 3 x) d x

Bom, essa do lado direto vai ser y mesmo né, a gente precisa integrar o outro lado então...

Passo 2

Vamos fazer essa aqui:

int (2 + s e n 3 x) d x

A gente pode fazer u = 3 x e teremos d u = 3 d x . Aí fica assim:

(1)/(3) int 2 + s e n u d u

Integrando em u :

(1)/(3) (2 u - cos u)

Voltando para x :

= (1)/(3) ( 6 x - cos 3 x ) + C

= 2 x - (cos 3 x)/(3) + C

Passo 3

Vamos achar o valor desse C aí agora. O enunciado deu pra gente que y ((pi)/(3)) = 0 . Vamos jogar isso ali agora que a gente já mata esse C :

0 = 2 ((pi)/(3)) - (cos 3 ((pi)/(3)))/(3) + C

0 = (2 pi)/(3) + (1)/(3) + C

C = - (2 pi + 1)/(3)

Nossa resposta então é:

y = 2 x - (cos 3 x)/(3) - (2 pi + 1)/(3)

Resposta

y = 2 x - (cos 3 x)/(3) - (2 pi + 1)/(3)

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