Resolva os problemas de valor inicial:

dy/dx = 2 + sen 3x, y(pi/3) = 0

Passo 1

Isso aí é uma EDO separável. A gente faz o seguinte:

d y = 2 + s e n   3 x d x

E aí pra resolver a gente integra os dois lados:

∫ d y = ∫ 2 + s e n   3 x d x

Bom, essa do lado direto vai ser y mesmo né, a gente precisa integrar o outro lado então...

Passo 2

Vamos fazer essa aqui:

∫ 2 + s e n   3 x d x

A gente pode fazer u = 3 x e teremos d u =   3   d x . Aí fica assim:

1 3 ∫ 2 + s e n   u   d u

Integrando em u :

1 3 2 u - cos ⁡ u

Voltando para x :

= 1 3 ( 6 x - cos ⁡ 3 x )   + C

= 2 x - cos ⁡ 3 x 3 + C

Passo 3

Vamos achar o valor desse C aí agora. O enunciado deu pra gente que y π 3 = 0 . Vamos jogar isso ali agora que a gente já mata esse C :

0 = 2 π 3 - cos ⁡ 3 π 3 3 + C

0 = 2 π 3 + 1 3 + C

C =   - 2 π + 1 3

Nossa resposta então é:

y = 2 x - cos ⁡ 3 x 3   - 2 π + 1 3

Resposta

y = 2 x - cos ⁡ 3 x 3   - 2 π + 1 3

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