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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 70

Resolva os problemas de valor inicial:

(d y)/(d x) = 2 + s e n 3 x , y ((pi)/(3)) = 0

Passo 1

Isso aí é uma EDO separável. A gente faz o seguinte:

d y = (2 + s e n 3 x) d x

E aí pra resolver a gente integra os dois lados:

int d y = int (2 + s e n 3 x) d x

Bom, essa do lado direto vai ser y mesmo né, a gente precisa integrar o outro lado então...

Passo 2

Vamos fazer essa aqui:

int (2 + s e n 3 x) d x

A gente pode fazer u = 3 x e teremos d u = 3 d x . Aí fica assim:

(1)/(3) int 2 + s e n u d u

Integrando em u :

(1)/(3) (2 u - cos u)

Voltando para x :

= (1)/(3) ( 6 x - cos 3 x ) + C

= 2 x - (cos 3 x)/(3) + C

Passo 3

Vamos achar o valor desse C aí agora. O enunciado deu pra gente que y ((pi)/(3)) = 0 . Vamos jogar isso ali agora que a gente já mata esse C :

0 = 2 ((pi)/(3)) - (cos 3 ((pi)/(3)))/(3) + C

0 = (2 pi)/(3) + (1)/(3) + C

C = - (2 pi + 1)/(3)

Nossa resposta então é:

y = 2 x - (cos 3 x)/(3) - (2 pi + 1)/(3)

Resposta

y = 2 x - (cos 3 x)/(3) - (2 pi + 1)/(3)

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Calcule a integral definida.int_0^1 (sqrt(x))/(1 + root(3)(x)) d x
Calcule ∫ d x x - x por dois métodos: (a) tomando x = z 2 ; (b) escrevendo x - x = x x - 1 e tomando u = x - 1 .
Mostre que o resultado do exercício 48 é equivalente à fórmula ∫ c o s s e cxd x = ln ⁡ | c o s s e cx - c o t a nx | + C .
Calcule a integral definida.int_2^(1 1) (x^3)/(root(3)(x^2 + 4)) d x
Mostre que a fórmula (2) desta secção é equivalente à fórmula ∫ sec ⁡ xd x = ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | + C . (Sugestão: multiplique o numerador e o denominador sob o radical por ( 1 + s e nx ) .)