Encontre uma função f tal que a inclinação da reta tangente em um ponto (x, y) da curva y = f(x) é raiz(3x + 1) , e a curva passa pelo ponto (0,1) .

Passo 1

Traduzindo: o exercício quer a função que quando a gente deriva dá 3 x + 1 ou seja, ∫ 3 x + 1 d x sendo y 0 = 1 .

Vamos integrar então:

∫ 3 x + 1   d x

Vamos fazer uma substituição: u = 3 x + 1 → d u = 3   d x .

1 3 ∫ u   d u

Passo 2

= 1 3 2 3 u 3 2

= 2 9 u 3 2

Agora a gente volta pra variável x :

y = 2 9 3 x + 1 3 / 2 + C

Agora vamos descobrir o C pelo valor de y 0 = 1 :

= 2 9 3 ( 0 ) + 1 3 2 + C = 1

= 2 9 1 3 2 + C = 1

C = 1 - 2 9

C = 7 9

Ou seja, a função procurada é:

y = 2 9 3 x + 1 3 / 2 + 7 9  

Resposta

y = 2 9 3 x + 1 3 / 2 + 7 9

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