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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 12

Expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule a integral:

∫ 2 x + 1 x 2 - 7 x + 12   d x

Passo 1

Fala ai,

Bom, o enunciado pele para expressar o integrando como soma de frações parciais. Veja que podemos reescrever a fração da seguinte forma:

2 x + 1 x 2 - 7 x + 12 =   A x - 4 +   B x - 3

Agora, vamos considerar somente os numeradores de cada fração:

2 x + 1 = A x - 3 + B ( x - 4 )

= A x - 3 A + B x - 4 B  

= A + B x + ( - 3 A - 4 B )

Agora, devemos resolver o sistema, para encontrar os valores de Ae B:

A + B = 2 - 3 A - 4 B = 1

Multliplicando a primeira equação por 3, temos:

3 A + 3 B = 6 - 3 A - 4 B = 1

B = 7

A =   9

Passo 2

Encontrados os valores de A e B, vamos reescrever a integral e resolver-la

∫ 2 x + 1 x 2 - 7 x + 12   d x = 9   ∫ d x x - 4 - 7   ∫ d x x - 3

= 9 ln ⁡ x - 4 - 7 ln ⁡ x - 3 + C

Resposta

= ln ⁡ x - 4 9 - ln ⁡ x - 3 7 + C

= ln ⁡ x - 4 9 x - 3 7 + C

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