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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 9

Expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule a integral:

∫ d x 1 - x 2

Passo 1

Fala ai,

Bom, o eninciado pele para expressar o integrando como soma de frações parciais. Veja que podemos reescrever o denominador da seguinte forma:

1 1 - x 2 =   A 1 - x +   B 1 + x

1 = A   1 + x + B     1 - x

Agora, vamos considerar somente os numeradores de cada fração:

1 = A + A x + B - B x

1 = A + B + A - B x

Agora, devemos resolver o sistema, para encontrar os valores de Ae B:

A + B = 1 A - B = 0

A = 1 2

B =   - 1 2

Passo 2

Encontrados os valores de A e B, vamos reescrever a integral e resolver-la

∫ d x 1 - x 2 = 1 2   ∫ d x 1 - x - 1 2   ∫ d x 1 + x

= 1 2 ln ⁡ 1 + x - 1 2 ln ⁡ 1 - x + C

Resposta

1 2 ln ⁡ 1 + x - 1 2 ln ⁡ 1 - x + C

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