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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 13

Expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule a integral:

∫ 4 8 y   d y y 2 - 2 y - 3

Passo 1

Fala ai,

Bom, o enunciado pele para expressar o integrando como soma de frações parciais. Veja que podemos reescrever a fração da seguinte forma:

y   y 2 - 2 y - 3 =   A y - 3 +   B y + 1

Agora, vamos considerar somente os numeradores de cada fração:

y = A   y + 1 + B ( y - 3 )

= A y + A + B y - 3 B  

= A + B y + ( A - 3 B )

Agora, devemos resolver o sistema, para encontrar os valores de Ae B:

A + B = 1 A - 3 B = 0

Multliplicando a primeira equação por 3, temos:

3 A + 3 B = 3 A - 3 B = 0

A = 3 4

B = 1 4

Passo 2

Encontrados os valores de A e B, vamos reescrever a integral e resolver-la

∫ 4 8 y   d y y 2 - 2 y - 3 = 3 4   ∫ 4 8 d y y - 3 + 1 4   ∫ 4 8 d y y + 1

= 3 4 ln ⁡ y - 3 + 1 4 y + 1 8 4

= 3 4 ln ⁡ 5 + 1 4 ln ⁡ 9   -   3 4 ln ⁡ 1 + 1 4 ln ⁡ 5  

= 1 2 ln ⁡ 5 + 1 2 ln ⁡ 3 = ln ⁡ 15 2

Resposta

ln ⁡ 15 2

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