Calcule a integral.

∫ d x x x 2 - 1

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x x 2 - 1 = x x 2 - 1 = x x + 1 x - 1

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 x x 2 - 1 = 1 x x + 1 x - 1 = A x + B x + 1 + C x - 1

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x + 1 x - 1 :

1 = A x + 1 x - 1 + B x x - 1 + C x x + 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x + 1 x - 1 + B x x - 1 + C x x + 1

1 = A x 2 - x + x - 1 + B x 2 - B x + C x 2 + C x

1 = A x 2 - 1 + B x 2 - B x + C x 2 + C x

1 = A x 2 - A + B x 2 - B x + C x 2 + C x

1 = x 2 A + B + C + x - B + C + - A

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 0 - B + C = 0 - A = 1

Com a terceira temos o valor de A :

- A = 1 → A = - 1

Agora substituindo isso na primeira temos:

A + B + C = 0 → - 1 + B + C = 0 → B + C = 1

Isolando B :

B = 1 - C

Agora vamos substituir na segunda:

- B + C = 0 → - 1 - C + C = 0 → - 1 + C + C = 0 → 2 C = 1 → C = 1 2

Temos então que o valor de B é:

B = 1 - C = 1 - 1 2 = 2 - 1 2 = 1 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ d x x x 2 - 1 = ∫ - 1 x + 1 2 x + 1 + 1 2 x - 1 d x = ∫ - 1 x d x + ∫ 1 2 x + 1 d x + ∫ 1 2 x - 1 d x =

= - ∫ 1 x d x + 1 2 ∫ 1 x + 1 d x + 1 2 ∫ 1 x - 1 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

- ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- ∫ 1 x d x = - ln ⁡ x + C

Passo 4

Com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 2 ∫ 1 x + 1 d x = 1 2 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 2 ∫ 1 x - 1 d x = 1 2 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 2 ∫ 1 v d v = 1 2   ln ⁡ v + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

∫ d x x x 2 - 1 = - ∫ 1 x d x + 1 2 ∫ 1 x + 1 d x + 1 2 ∫ 1 x - 1 d x = - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ u + 1 2   ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x x x 2 - 1 = - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ u + 1 2   ln ⁡ v + C = - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2   ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ d x x x 2 - 1 = - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2   ln ⁡ x - 1 + C

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