Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 14

Calcule a integral.

int (d x)/(x (x^2 - 1))

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x (x^2 - 1) = x (x^2 - 1) = x (x + 1) (x - 1)

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(1)/(x (x^2 - 1)) = (1)/(x (x + 1) (x - 1)) = (A)/(x) + (B)/(x + 1) + (C)/(x - 1)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x + 1) (x - 1) :

1 = A (x + 1) (x - 1) + B x (x - 1) + C x (x + 1)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (x + 1) (x - 1) + B x (x - 1) + C x (x + 1)

1 = A (x^2 - x + x - 1) + B x^2 - B x + C x^2 + C x

1 = A (x^2 - 1) + B x^2 - B x + C x^2 + C x

1 = A x^2 - A + B x^2 - B x + C x^2 + C x

1 = x^2 (A + B + C) + x (- B + C) + (- A)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 0],[- B + C = 0],[- A = 1]])

Com a terceira temos o valor de A :

- A = 1 -> A = - 1

Agora substituindo isso na primeira temos:

A + B + C = 0 -> - 1 + B + C = 0 -> B + C = 1

Isolando B :

B = 1 - C

Agora vamos substituir na segunda:

- B + C = 0 -> - (1 - C) + C = 0 -> - 1 + C + C = 0 -> 2 C = 1 -> C = (1)/(2)

Temos então que o valor de B é:

B = 1 - C = 1 - (1)/(2) = (2 - 1)/(2) = (1)/(2)

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (d x)/(x (x^2 - 1)) = int (- 1)/(x) + ((1)/(2))/(x + 1) + ((1)/(2))/(x - 1) d x = int (- 1)/(x) d x + int (1)/(2 (x + 1)) d x + int (1)/(2 (x - 1)) d x =

= - int (1)/(x) d x + (1)/(2) int (1)/(x + 1) d x + (1)/(2) int (1)/(x - 1) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

- int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- int (1)/(x) d x = - ln |x| + C

Passo 4

Com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(2) int (1)/(x + 1) d x = (1)/(2) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) ln |u| + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na terceira:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(2) int (1)/(x - 1) d x = (1)/(2) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(2) int (1)/(v) d v = (1)/(2) ln |v| + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

int (d x)/(x (x^2 - 1)) = - int (1)/(x) d x + (1)/(2) int (1)/(x + 1) d x + (1)/(2) int (1)/(x - 1) d x = - ln |x| + (1)/(2) ln |u| + (1)/(2) ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (d x)/(x (x^2 - 1)) = - ln |x| + (1)/(2) ln |u| + (1)/(2) ln |v| + C = - ln |x| + (1)/(2) ln |x + 1| + (1)/(2) ln |x - 1| + C

Resposta

int (d x)/(x (x^2 - 1)) = - ln |x| + (1)/(2) ln |x + 1| + (1)/(2) ln |x - 1| + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar se possível a área da região sob o gráfico da função y = 1 x 2 + 1 2 , de - ∞a + ∞ .
Calcule a integral indefinida.int (d x)/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + 4 ))
Calcule a integral indefinida. ∫ x 2 + 2 x - 1 x - 1 2 x 2 + 1 d x
Verificar a fórmula int (d u)/(a^2 - u^2) = (1)/(a) ln (|u + a|)/(|u - a|) + C .
Investigar as integrais impróprias.int_(10)^(oo) (d x)/(x^2 (x - 5)) int_0^2 (d x)/(x^2 (x - 5)) int_5^(oo) (d x)/(x^2 (x - 5))