Calcule a integral.

∫ 5 x - 5 3 x 2 - 8 x - 3 d x

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

3 x 2 - 8 x - 3 = 3 x + 1 3 x - 3 = 3 x + 1 x - 3

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

5 x - 5 3 x 2 - 8 x - 3 = 5 x - 5 3 x + 1 x - 3 = A 3 x + 1 + B x - 3

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores 3 x + 1 x - 3 :

5 x - 5 = A x - 3 + B 3 x + 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

5 x - 5 = A x - 3 + B 3 x + 1

5 x - 5 = A x - 3 A + 3 B x + B

5 x - 5 = x A + 3 B + - 3 A + B

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + 3 B = 5 - 3 A + B = - 5

Isolando A na primeira temos:

A = 5 - 3 B

Agora substituindo isso na segunda temos:

- 3 A + B = - 5 → - 3 5 - 3 B + B = - 5 → - 15 + 9 B + B = - 5 → 10 B = - 5 + 15 →

→ 10 B = 10 → B = 1

Temos então que o valor de A é:

A = 5 - 3 B = 5 - 3 ⋅ 1 = 5 - 3 = 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 5 x - 5 3 x 2 - 8 x - 3 d x = ∫ 2 3 x + 1 + 1 x - 3 d x = ∫ 2 3 x + 1 d x + ∫ 1 x - 3 d x =

= 2 ∫ 1 3 x + 1 d x + ∫ 1 x - 3 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = 3 x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 + 0   d x = 3 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 ∫ 1 3 x + 1 d x = 2 ∫ 1 3 u d u = 2 3 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

2 3 ∫ 1 u d u = 2 3 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x - 3 d x = ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 v d v = ln ⁡ v + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ 5 x - 5 3 x 2 - 8 x - 3 d x = 2 ∫ 1 3 x + 1 d x + ∫ 1 x - 3 d x = 2 3 ln ⁡ u + ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 5 x - 5 3 x 2 - 8 x - 3 d x = 2 3 ln ⁡ u + ln ⁡ v + C = 2 3 ln ⁡ 3 x + 1 + ln ⁡ x - 3 + C

Resposta

∫ 5 x - 5 3 x 2 - 8 x - 3 d x = 2 3 ln ⁡ 3 x + 1 + ln ⁡ x - 3 + C

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