Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 12
Calcule a integral.
Passo 1
Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:
Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:
Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:
Passo 2
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Isolando na primeira temos:
Agora substituindo isso na segunda temos:
Temos então que o valor de é:
Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:
Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.
Passo 3
Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 4
Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 5
Agora é só juntar tudo:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: