Calcule a integral.

∫ d x x 2 - 6 x - 7

Passo 1

Vamos analisar o denominador, ele pode ser decomposto em:

x 2 - 6 x - 7 = x + 1 x - 7

Ele então é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 x 2 - 6 x - 7 = 1 x + 1 x - 7 = A x + 1 + B x - 7

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x + 1 x - 7 :

1 = A x - 7 + B x + 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x - 7 + B x + 1

1 = A x - 7 A + B x + B

1 = x A + B + - 7 A + B

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 - 7 A + B = 1

Isolando A na primeira temos:

A = - B

Agora substituindo isso na segunda temos:

- 7 A + B = 1 → - 7 - B + B = 1 → 7 B + B = 1 → B = 1 8

Temos então que o valor de A é:

A = - B = - 1 8

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ d x x 2 - 6 x - 7 = ∫ - 1 8 x + 1 + 1 8 x - 7 d x = ∫ - 1 8 x + 1 + 1 8 x - 7 d x =

= ∫ - 1 8 x + 1 d x + ∫ 1 8 x - 7 d x = - 1 8 ∫ 1 x + 1 d x + 1 8 ∫ 1 x - 7 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 1 8 ∫ 1 x + 1 d u = - 1 8 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 8 ∫ 1 u d u = - 1 8 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 7

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 8 ∫ 1 x - 7 d x = 1 8 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 8 ∫ 1 v d v = 1 8 ln ⁡ v + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

∫ d x x 2 - 6 x - 7 = - 1 8 ∫ 1 x + 1 d x + 1 8 ∫ 1 x - 7 d x = - 1 8 ln ⁡ u + 1 8 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x x 2 - 6 x - 7 = - 1 8 ln ⁡ u + 1 8 ln ⁡ v + C = - 1 8 ln ⁡ x + 1 + 1 8 ln ⁡ x - 7 + C

Resposta

∫ d x x 2 - 3 x - 4 = - 1 8 ln ⁡ x + 1 + 1 8 ln ⁡ x - 7 + C

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