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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 23

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais

∫ y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2   d y

Passo 1

O problema nos pede para expressarmos o integrando sob a forma de frações parciais, para esse caso onde temos um polinômio irredutível (que não tem como fatorar) no denominador a estratégia é colocar um polinômio de grau menor que ele no numerador, assim

y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2 = A y + B y 2 + 1 + C y + D y 2 + 1 2

Essa igualdade só será satisfeita se

y 2 + 2 y + 1 = A y + B ⋅ y 2 + 1 + C y + D

A y 3 + B y 2 +   A +   C ⋅ y + B +   D = y 2 + 2 y + 1

Assim,

A = 0 ,   B = 1 ,   C = 2   e   D = 0

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ 1 y 2 + 1 + 2 y y 2 + 1 2   d y

Passo 2

Vamos resolver cada uma das questões separadamente e no final juntar todos os resultados mediante uma única constante que chamaremos de k = C 1 + C 2

i : ∫ d y y 2 + 1 = a r c t g y + C 1

i i : ∫ 2 y y 2 + 1 2 d y =  

Fazendo y 2 + 1 = u → d u d y = 2 y → d u = 2 y   d y

∫ d u u 2 =   - 1 u + C 2

Retornando para a variável y teremos

→   - 1 y 2 + 1 + C 2

Juntando ambos os resultados obteremos o valor da integral e, assim, resolveremos nosso problema

→   a r c t g y - 1 y 2 + 1 + K

Resposta

a r c t g y - 1 y 2 + 1 + K

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