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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 24

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais

∫ 8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2   d x

Passo 1

O problema nos pede para expressarmos o integrando sob a forma de frações parciais, para esse caso onde temos um polinômio irredutível (que não tem como fatorar) no denominador a estratégia é colocar um polinômio de grau menor que ele no numerador, assim

8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2 = A x + B 4 x 2 + 1 + C x + D 4 x 2 + 1 2

Essa igualdade só será satisfeita se

8 x 2 + 8 x +   2 = A x + B ⋅ 4 x 2 + 1 + C x +   D

8 x 2 + 8 x +   2 = 4 A x 3 + 4 B x 2 + A + C ⋅ x + ( B + D )

→ A = 0 ,   B = 2 ,   C = 8   e   D = 0

Assim, podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ 2 4 x 2 + 1 + 8 x 4 x 2 + 1 2   d x

Passo 2

Vamos resolver cada uma das questões separadamente e no final juntar todos os resultados mediante uma única constante que chamaremos de k = C 1 + C 2

i : ∫ 2 4 x 2 + 1 d x = 2 ⋅ ∫ d x ( 2 x ) 2 + 1 = a r c t g 2 x + C 1

i i : ∫ 8 x 4 x 2 + 1 2 d x =  

Fazendo 4 x 2 + 1 = u → d u d x = 8 x → d u = 8 x   d x

∫ d u u 2 =   - 1 u + C 2

Retornando para a variável x teremos

→   - 1 4 x 2 + 1 + C 2

Juntando ambos os resultados obteremos o valor da integral e, assim, resolveremos nosso problema

→   a r c t g 2 x - 1 4 x 2 + 1 + k

Resposta

a r c t g 2 x - 1 4 x 2 + 1 + k

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