Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 53
53. Fórmula do tamanho do lote de Wilson. Uma das fórmulas para gerenciamento de almoxarifado diz que o custo médio semanal para você encomendar, pagar e armazenar uma mercadoria é:
onde é a quantidade que você encomenda quando o estoque está baixo (calçados, rádios, vassouras, seja o que for), é o custo para fazer o pedido (que é constante, não importando quanto você pede), é o custo de um item (uma constante), é o número de itens vendidos em uma semana (uma constante) e é o custo semanal de armazenagem de um item (uma constante que leva em conta, por exemplo, o espaço que o item ocupa, utilidade, seguro e segurança).
a. Seu trabalho, como almoxarife, é determinar a quantidade que minimizará . Que quantidade é essa? (A fórmula que você obterá como resposta é conhecida como fórmula
do tamanho do lote de Wilson.)
b. As vezes, os custos de entrega dependem do tamanho do pedido. Quando isso ocorre, é mais conveniente substituir por, a soma de e uma múltipla constante de . Qual é a quantidade mais econômica a encomendar agora?
Passo 1
a) Para minimizarmos a temos que utilizar o conceito de máximos e mínimos, pessoal! Para descobrirmos o valor de que minimiza a equação temos que derivar essa função e igualar a zero para encontrarmos pontos críticos que, possivelmente, serão candidatos à minimização. Fazendo isso, teremos:
Isolando , temos:
Passo 2
Agora que encontramos os pontos críticos, pessoal, temos que ver qual deles é um mínimo no gráfico de . Uma das melhores maneiras de descobrirmos isso é derivando pela segunda vez a equação e analisando o sinal dessa segunda derivada. Tá parecendo confuso? Se liga, acompanha aqui que você vai ver que não é!
Quando substituirmos os pontos críticos, caso seja maior do que zero, isso implica que é um ponto de mínimo (gráfico terá concavidade para cima), que é exatamente o que queremos encontrar. Caso seja menor do que zero, isso implica que é um ponto de máximo (gráfico terá concavidade para baixo).
Substituindo , teremos:
Note que o valor deu positivo, o que implica que, de fato, é um ponto de mínimo. Portanto, essa é a nossa resposta!
Passo 3
b) Se substituirmos por , assim como o enunciado nos pede, teremos:
Se fizermos o mesmo processo que fizemos na letra a), teremos:
Note que o resultado foi o mesmo da letra a), sendo assim, fica claro que a quantidade mais econômica, mesmo com a alteração de , ainda será !
Resposta
a)
b)