Expresse o número como uma razão de inteiros.

7 , 12345 -

Passo 1

Fala Aí! Tuuuudo certinho? Nessa questão, assim como nas anteriores, precisamos expressar o número 7 , 12345 -   como uma razão de inteiros.

Para isso, assim como comentado em exercícios anteriores, precisamos entender que qualquer número decimal racional que possui representação decimal como uma dízima infinita, assim como é o nosso caso, pode ser escrito como uma série geométrica. O número que nos foi dado pode ser representado por:

7 , 12345 - = 7 + 12345 10 5 + 12345 10 5 2 + 12345 10 5 3 …

Beleza?!

Aqui vale ressaltar que a proporção em que o denominador aumenta depende da quantidade de algarismos do período, tudo bem?

Nosso primeiro termo é a 1 = 12345 100000 = 0 , 12345   e a razão é q = 1 100 00 0 = 0,00001 .

Escrevendo a série geométrica que representa o número em questão teremos:

∑ n = 1 ∞ 12345 100000 n = ∑ n = 1 ∞ 12345 1 10 5 n

Show de bola?!

Passo 2

Sabemos que para resolver uma série geométrica devemos fazer:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

No nosso caso a = 0 , 12345 , assim como já foi discutido acima e r = 1 1000 00 = 0,00001 . Substituindo, teremos:

∑ n = 1 ∞ 12345 1 10 5 n = 0,12345 1 - 0,00001 = 0,12345 0,99999 = 12345 99999

No entanto, esse não é o nosso resultado porque falta a parte inteira que é 7 . Sendo assim, nosso resultado final será:

7 + 12345 99999 = 712338 99999

Fazendo o MMC

699993 + 12345 99999 = 712338 99999

Simplificando por 3 no numerador e denominador, temos que

7 , 12345 - = 237446 33333

Que é a razão de inteiros que procurávamos!

Resposta

7 , 12345 - = 237446 33333

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