Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 34
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
Passo 1
Vamos lá galera, para resolver essa questão precisamos calcular os dez primeiros termos da série e fazer a soma, bem simples né? Não tem muito como fugir desse trabalho braçal não viu?A segunda etapa é estimar o erro dessa soma. Veja bem, se a série contém infinitos termos. Nós nunca teremos o valor exato da série ao somar um número finito de termos. Ou seja, sempre haverá uma diferença entre esses valores.E é essa diferença que vamos estimar. Tranquilo por aqui? Então vamos colocar a mão na massa?
Passo 2
Para estimar a soma com termos basta fazer
Como a questão pede com os primeiros termos
Atenção para utilizar em radianos!!!
Ou seja:
Para este cálculo, podemos usar um software matemático
Passo 3
Agora para estimar o erro, vamos usar
Podemos dizer que o erro é a soma dos termos seguintes, o que faz sentido já que estamos somando só até uma parte, o nosso erro é o que falta somar, então
Onde é o numero de termos que você vai usar, é a soma total da série e é a aproximação, mas nós não sabemos quanto vale a soma desta série, então, vamos estimar o erro por comparação.
Ou seja, utilizaremos uma outra série em que podemos saber exatamente o valor. E estimar o erro da nossa série por comparação com esse valor.Veja, temos nossa série:
Vamos criar uma outra série utilizando o termo de maior potência de do numerador e do denominador (No numerador não há potência de ).Então teremos:
Perceba que nunca é . E é algumas vezes . Ou seja:
E lembre-se mau amigo que se tivermos uma série , onde para todo .
Podemos dizer que , por conta de que .
Ou seja, ou erro da série que queremos descobrir é menor que o erro da série recém criada.
Passo 4
Então vamos descobrir o erro da série recém-criada.
Usando
Pois . Podemos estimar o erro pelo teste da integral
E como , podemos afirmar que
Calculando a integral
Então temos que
Como estamos usando