Qual das seguintes alternativas expressa

Vamos então analisar as alternativas, começando pela (a)

Vamos fazer para k=1 (pois k começa por 1 nessa somatória, como é indicado na expressão)

O primeiro termo confere, agora vamos dar uma olhadinha no segundo:

O segundo termo também confere. Vamos checar mais um:

OPA! A gente pode identificar um padrão aí. Olha só, cada termo corresponde a uma potencia de 2, quer dizer, o primeiro termo é 2 elevado a potência 0, o segundo a potência 1, o terceiro é 2 elevado a potência 2, e assim segue.

Por esse raciocínio podemos ver que a somatória da alternativa (a) representa aquela expressão, porque note que essa somatória equivale a:

Que equivale a:

Podemos concluir que a alternativa (a) representa a expressão.

Agora é a vez da alternativa (b)

O primeiro termo, onde k=0 é , confere. O segundo é . OPA! Parece que o padrão anterior se repete.

Olhando com força de vontade para essa expressão vemos que nessa somatória cada termo também é uma potência de 2 maior que a anterior.

Assim essa somatória representa:

Que equivale a:

Olha só, a alternativa (b) também representa.

Agora falta só a alternativa (c).

Vamos tentar fazer uma coisa diferente aqui, vamos resolver só analisando a expressão.

Primeiro perceba que essa somatória tem 6 termos (-1, 0, 1, 2, 3, 4) porque k varia de -1 até 4.

Agora vamos olhar para onde está esse k, ele é uma potência de 2, somado com 1. Ou seja, cada termo vai ser uma potência de 2 maior que a anterior, perceba que k é a única coisa que varia, e pela sua posição na somatória podemos afirmar isso.

Agora a gente pode ver que a primeira potência é 0, porque k começa por -1, assim o primeiro termo é 1. E seguindo o raciocínio que construímos o próximo termo é 2 elevado a primeira potência, o próximo é 2 elevado a segunda potência e assim por diante, ou seja:

Que equivale a:

Quem diria? A alternativa (c) também representa a expressão!