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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 40

40- Expresse o número com uma razão de inteiros:

5 . bar 6021

Passo 1

Podemos representar esse número de acordo com a base decimal que será:

5 + (6)/(10) + (0)/(10^2) + (2)/(10^3) + (1)/(10^4) + (6)/(10^5) + (0)/(10^6) + (2)/(10^7) + (1)/(10^8) + ...

E dessa série podemos fazer as seguinte divisões.

5 + ((6)/(10) + (0)/(10^2) + (2)/(10^3) + (1)/(10^4)) + ((6)/(10^5) + (0)/(10^6) + (2)/(10^7) + (1)/(10^8)) + ...

Fazendo mmc dentro dos parênteses teremos:

5 + ((10^3 xx 6 + 10^2 xx 0 + 10 xx 2 + 1)/(10^4)) + ((10^3 xx 6 + 10^2 xx 0 + 10 xx 2 + 1)/(10^8)) + ...

O que é:

5 + (6021)/(10^4) + (6021)/(10^8) + ...

Passo 2

Então temos o número 5 acrescido de uma sequência que pode ser escrito na forma abaixo:

5 + 6021 sum_(n = 1)^(oo) (1)/(10^(4 n))

Onde S = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(10^(4 n)) é uma série geométrica com primeiro termo igual a 1 // 10^4 e razão igual a 1 // 10^4 . Ou seja sua somatória valerá:

S = ((1)/(10^4))/(1 - (1)/(10^4)) = ((1)/(10^4))/((10^4 - 1)/(10^4)) = (1)/(9999)

Passo 3

Logo a somatória dessa série nos dará:

5 + (6021)/(9999) = (56016)/(9999)

Dividindo o numerador e o denominador por 9 teremos:

5 . bar 6021 = (56016)/(9999)

Resposta

5 . bar 6021 = (56016)/(9999)

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