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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 47

Use o comando de frações parciais em seu C A S para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão parcial para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o C A S para somar a série diretamente.

47-

∑ n = 1 ∞ 1 ( 4 n + 1 ) ( 4 n - 3 )

Passo 1

Vamos separar em frações parciais na mão depois mostro os códigos nos softwares mais utilizados.

Vamos começar separando a sequência em frações parciais da seguinte forma:

1 ( 4 n + 1 ) ( 4 n - 3 ) = A 4 n + 1 + B 4 n - 3

Vamos encontrar A e B fazendo a soma dessas duas frações.

1 4 n + 1 4 n - 3 = A 4 n - 3 + B 4 n + 1 4 n + 1 4 n - 3 = 4 A n - 3 A + 4 B n + B 4 n + 1 4 n - 3

1 ( 4 n + 1 ) ( 4 n - 3 ) = 4 A + 4 B n + ( B - 3 A ) ( 4 n + 1 ) ( 4 n - 3 )  

Comparando o numerador podemos escrever:

4 A + 4 B = 0

B - 3 A = 1 → B = 1 + 3 A

Logo:

4 A + 4 1 + 3 A = 0

4 A + 4 + 12 A = 0

16 A = - 4 → A = - 1 4

Então B será:

B = 1 + 3 - 1 4 = 1 - 3 4 = 1 4

Logo a fração parcial dessa sequência será:

1 ( 4 n + 1 ) ( 4 n - 3 ) = 1 4 ( 4 n - 3 ) - 1 4 ( 4 n + 1 )

Passo 2

Agora fazendo a soma telescópica dessa série nós teremos:

S = 1 4 1 - 1 4 5 + 1 4 5 - 1 4 9 + 1 4 9 - 1 4 13 + 1 4 13 - 1 4 17 + …

Note que só sobrará a parcela:

S = 1 4 × 1 = 1 4

Passo 3

Códigos:

Frações parciais

M a p l e -     c o n v e r t f ,   p a r f r a c ;

M a t h e m a t i c a -     A p a r t [ e x p r , v a r ]

Somatória:

M a p l e - s i m f , 1 . . i n f i n i t y ;

M a t h e m a t i c a - S u m [ f , n , 1 , I n f i n i t y ]

Onde f é 1 ( 4 n + 1 ) ( 4 n - 3 )

Resposta

Fração parcial:

1 4 ( 4 n - 3 ) - 1 4 ( 4 n + 1 )

Resultado da soma:

S = 1 4

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