Expresse, em termos de integrais, as soluções dos problemas de valor inicial nos exercícios 69 e 70.

dy/dx = raiz(1 + x^2), y(1) = -2

Passo 1

Nesses exercícios, precisamos aplicar a integral dos dois lados da equação. Mas quais serão os limites de integração?

Boa pergunta jovem gafanhoto! Nós vamos colocar sempre x no limite superior e o valor de x dado na condição inicial. Isso pois temos o seguinte

∫ a x d y d x d x = y x - y ( a )

E ele nos deu o valor de y a na condição inicial!

Passo 2

No nosso caso temos que a nossa condição inicial é y 1 = - 2 . Logo, vamos ter que a = 1 . Então

∫ 1 x d y d x d x = ∫ 1 x 1 + t 2 d t

Usando a expressão do passo 1 (que vem do teorema fundamental do cálculo):

y x - y 1 = ∫ 1 x 1 + t 2 d t → y x - ( - 2 ) = ∫ 1 x 1 + t 2 d t

Logo,

y x = ∫ 1 x 1 + t 2 d t - 2

Resposta

y x = ∫ 1 x 1 + t 2 d t - 2

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