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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 79

Parece que podemos integrar 2 sin ⁡ x cos ⁡ x em relação a x de três maneiras diferentes:

  1. ∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 2 u d u = u 2 + C 1 = sin 2 ⁡ x + C 1
  2. ∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ - 2 u d u = - u 2 + C 2 = - cos 2 ⁡ x + C 2
  3. ∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ 2 x d x = - cos ⁡ 2 x 2 + C 3

Podem as três integrações estar corretas? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = sin ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = cos ⁡ x d x

Colocando na integral:

∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = 2 ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = 2 ∫ u d u

Calculando a integral:

2 ∫ u d u = 2 u 2 2 + C 1

Revertendo pra variável original:

sin 2 ⁡ x + C 1

Passo 2

Na letra b.) faremos uma mudança de variável diferente:

u = cos ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = - sin ⁡ x d x

- d u = sin ⁡ x d x

Colocando na integral:

∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = 2 ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x = - 2 ∫ u d u

Calculando a integral:

- 2 ∫ u d u = - 2 u 2 2 + C 2

Revertendo pra variável original:

- cos 2 ⁡ x + C 2

Passo 3

Já na letra c.) daremos uma mexida na integral lembrando das relações trigonométricas:

sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x

Assim,

∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ 2 x d x

Calculando a integral:

∫ sin ⁡ 2 x d x = - cos ⁡ 2 x 2 x ' + C 3 = - cos ⁡ 2 x 2 + C 3

A gente encontra três respostas diferentes pra mesma integral por causa das relações trigonométricas:

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim, as três respostas estão corretas apenas apresentadas de formas diferentes.

Resposta

Sim.

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