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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 78

A aceleração de uma partícula que se move de um lado para o outro em uma reta é a = d 2 s d t 2 = π 2 cos ⁡ π t   m / s 2 para qualquer t . Se s = 0 e v = 8   m / s quando t = 0 , determines quando t = 1   s .

Passo 1

Vamos começar lembrando que aceleração é a variação da velocidade sobre o tempo, portanto:

d 2 s d t 2 = π 2 cos ⁡ π t

Assim, passando d t para o outro lado da equação:

∫ d d s d t = ∫ π 2 cos ⁡ π t d t

s ' = v = π 2 ∫ cos ⁡ π t d t

Passo 2

Calculando a integral:

v = π 2 ∫ cos ⁡ π t d t = π 2 sin ⁡ π t π t ' + C = π 2 sin ⁡ π t π + C

v = π sin ⁡ π t + C   m / s

Substituindo o ponto dado na função:

v 0 = 8 = π sin ⁡ π ∙ 0 + C

C = 8 - π sin ⁡ π ∙ 0 = 8

Passo 3

Lembrando que velocidade é a variação do espaço sobre o tempo, portanto:

d s d t = π sin ⁡ π t + 8

Assim, passando d t para o outro lado da equação:

∫ d s = ∫ π sin ⁡ π t + 8 d t

Separando em dois termos:

s = π ∫ sin ⁡ π t d t + 8 ∫ d t

Passo 4

Calculando a integral:

s = π ∫ sin ⁡ π t d t + 8 ∫ d t = π - cos ⁡ π t π t ' + 8 t + K

s = π - cos ⁡ π t π + 8 t + K = - cos ⁡ π t + 8 t + K   m

Substituindo o ponto dado na função:

s 0 = 0 = - cos ⁡ π ∙ 0 + 8 ∙ 0 + K

K = cos ⁡ 0 = 1

Passo 5

Logo,

s = - cos ⁡ π t + 8 t + 1   m

Vamos determinar o valor de s para t = 1 :

s 1 = - cos ⁡ π ∙ 1 + 8 ∙ 1 + 1

s 1 = - cos ⁡ π + 8 + 1 = 1 + 9 = 10   m

Fim!!!

Resposta

10   m

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