Nos Exercícios 67 e 68, defina f (0, 0) de maneira que f se estenda a uma função contínua na origem.

f(x, y) = (3 * x^2 * y) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos verificar se os limites existem!

lim x , y → 0,0 ⁡ 3 x 2 y x 2 + y 2

Vamos substituir x por r cos ⁡ θ e y por r s e n   θ para simplificar,

lim r → 0 ⁡ 3 r cos ⁡ θ 2 r s e n   θ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2

Da relação fundamental da trigonometria, r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = r 2

lim r → 0 ⁡ 3 r 3 cos 2 ⁡ θ s e n   θ r 2

lim r → 0 ⁡ 3 r cos 2 ⁡ θ s e n   θ = 0

Resposta

f(0,0) é definido como 0.

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