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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 8

Calcule a integral indefinida:

int x sec^2 x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,sec^2 x,d,x,v,=,,?],[u,=,x,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,sec^2 x,d,x,v,=,int sec^2 x d x =,tan x,+,C],[u,=,x,d,u,=,,1,d,x]]

Devemos lembrar que (tan x)^' = sec^2 x . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace x) underset(d v)(ubrace sec^2 x d x) = underset(u)(ubrace x) underset(v)(ubrace (tan x)) - int underset(v)(ubrace tan x) underset(d u)(ubrace 1 d x)

int x sec^2 x d x = x tan x - int tan x d x

Passo 4

Vamos precisar achar a integral int tan x d x = int (sen x)/(cos x) d x . Para isso, vamos efetuar a seguinte substituição:

[[u,=,cos x],[d,u,=,-,sen x,d,x,,->,,-,d,u,=,sen x,d,x]]

A integral na variável u será uma integral imediata:

int tan x d x = int (sen x)/(cos x) d x = int - (d u)/(u) = - int (d u)/(u) = - ln |u| + C = - ln |cos x| + C

Pronto.

Passo 5

Agora substituímos o resultado em:

int x sec^2 x d x = x tan x - int tan x d x = x tan x - (- ln | cos x |) + C

int x sec^2 x d x = x tan x + ln | cos x | + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int x sec^2 x d x = x tan x + ln | cos x | + C

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