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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 13

Calcule a integral indefinida:

int sen x * ln ( cos x ) d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (logarítmica e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

[[d,v,=,sen x,d,x,v,=,,?],[u,=,ln ( cos x ),d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,sen x,d,x,v,=,int sen x d x =,-,cos x,+,C],[u,=,ln ( cos x ),d,u,=,,-,(sen x)/(cos x),d,x]]

Aqui devemos lembrar que ( ln ( cos x ) ) ' = (( cos x ) ')/(cos x) = (- sen x)/(cos x) .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace ln ( cos x )) underset(d v)(ubrace sen x d x) = underset(u)(ubrace ln ( cos x )) underset(v)(ubrace (- cos x)) - int underset(v)(ubrace - cos x) underset(d u)(ubrace (- (sen x)/(cos x)) d x)

int ln (cos x) * sen x d x = - cos x ln ( cos x ) - int sen x d x

int ln (cos x) * sen x d x = - cos x ln ( cos x ) - (- cos x) + C

int ln (cos x) * sen x d x = - cos x ln ( cos x ) + cos x + C

int ln (cos x) * sen x d x = cos x ( 1 - ln ( cos x ) ) + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

int ln (cos x) * sen x d x = cos x ( 1 - ln ( cos x ) ) + C

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