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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 22

Ache uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada.

x d y d x = 2 y + 4 x 2 ln ⁡ x ;

y = 4 quando x = 1 .

Passo 1

Para verificar se a equação diferencial é de primeira ordem em y , devemos coloca-la na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Dividindo a equação por x :

d y d x = 2 y x + 4 x ln ⁡ x ⇒ d y d x - 2 x y = 4 x ln ⁡ x

Agora a equação está no formato que queríamos, com P x = - 2 x e Q x = 4 x ln ⁡ x . O fator integrante pelo qual devemos multiplicar a equação para facilitar a integração é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos então o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ - 2 x d x = - 2 ln ⁡ x + k

e - 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x - 2 = x - 2 = 1 x 2

Multilicamos então a equação por 1 x 2 :

1 x 2 d y d x - 1 x 2 2 x   y   = 4 x ln ⁡ x x 2 ⇒ 1 x 2 d y d x - 2 x 3   y   = 4 ln ⁡ x x

Passo 3

Pelas propriedades de derivação, lembramos que u v ' = u ' v + u v ' . Sabemos que 1 x 2 ' = - 2 x 3 . Então temos:

1 x 2 ⋅ y ' + 1 x 2 ' y = 4 ln ⁡ x x ⇒ 1 x 2 y ' = d y x 2 d x = 4 ln ⁡ x x

Passo 4

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y x 2 = ∫ 4 ln ⁡ x x d x = ∫ 4 ln ⁡ x d ( ln ⁡ x ) = 2 ln 2 ⁡ x + C

⇒ y x 2 = 2 ln 2 ⁡ x + C ⇒ y = 2 x 2 ln 2 ⁡ x + C x 2

Pelo enunciado. y 1 = 4 :

4 = 2 ⋅ 1 2 ln 2 ⁡ 1 + C ⋅ 1 2 ⇒ C = 4 ⇒ y = 2 x 2 ln 2 ⁡ x + 4 x 2

Resposta

y = 2 x 2 ln 2 ⁡ x + 4 x 2

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