Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.1 - Ex. 39
Um fabricante de telhados metálicos corrugados quer produzir painéis que tenham cm de largura e 4 cm de espessura processando folhas planas de metal como mostrado na figura. O perfil do telhado tem o formato de uma onda senoidal. Verifique que a senoide tem a equação e calcule a largura de uma folha metálica que é necessária para fazer um painel de cm. (Use sua calculadora para calcular a integral correta até quatro algarismos significativos.)
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a largura de uma folha metálica que é necessária para fazer um painel de cm, sabendo que os painéis tem cm de espessura e que o formato senoidal deles são descritos pela equação:
A largura é exatamente o comprimento da senoide fazendo variar de até . Assim, usando a fórmula do comprimento de arco, temos que:
Então, precisamos apenas calcular a derivada de e substituir na fórmula para calcular a integral do comprimento.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de :
Agora elevando esse resultado ao quadrado e somando , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, temos:
Assim, substituindo na fórmula do passo , obtemos:
Eu sei que você deve estar pensando que é impossível calcular essa integral, de fato, na mão seria muito difícil...
Mas nem tudo está perdido, veja que a questão pede para você calcular a integral usando uma calculadora gráfica ou um software. Desta forma, recorrendo a um computador, obtemos
Valeu, galera! Até a próxima! 😉