3. Calcule a área limitada pela curva (coordenadas polares).

d)

ρ = cos(3θ)

Passo 1

Como queremos calcular uma área, vamos usar a seguinte formula:

A = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ

Que nos dá a área entre os pontos α e β .

Passo 2

O enunciado nos disse que ρ = cos ⁡ 3 θ . Logo,

ρ ² = c o s ² ⁡ ( 3 θ )

Usando a fórmula do Passo 1:

A = 1 2 ∫ 0 2 π c o s ² ⁡ ( 3 θ ) d θ

Para resolvermos essa integral, vamos usar o seguinte:

cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1

Assim,

cos 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x + 1 2

Então, basta trocar o x por 3 θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 6 θ + 1 2 d θ

Passo 3

Tirando o 2 da integral:

A = 1 4 ∫ 0 2 π cos ⁡ 6 θ + 1 d θ

Separando em dois termos:

A = 1 4 ∫ 0 2 π cos ⁡ 6 θ d θ + 1 4 ∫ 0 2 π d θ

Não esquece: ∫ c o s a x   d x = s e n a x a + k

A = 1 4 s e n 6 θ 6 + 1 4 θ 0 2 π

Agora é aplicar entre os pontos 0 e 2 π .

A = 1 4 s e n 6 × 2 π 6 + 1 4 × 2 π - 1 4 s e n 6 × 0 6 + 1 4 × 0

Fazendo as contas:

A = π 2

Resposta

A = π 2

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