Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.7 - Ex. 4f

Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas:

ρ = 1

ρ = 2 - 2 c o s ⁡ ( θ )

Passo 1

Primeiramente, vamos igualar as funções para descobrir o ponto de interseção entre elas:

1 = 2 - 2 c o s ⁡ ( θ )

Cos( θ ) =   1 2

Sabemos que os valores de θ = π 3   e     θ = 5 π 3 satisfazem a equação

Passo 2

Para facilitar a vizualização, vizualizaremos os gráficos superpostos.

Pegando apenas a parte acima do eixo horizontal, podemos ver que a área entre as curvas é a área da curva vermelha de π 3 até   π   mais a área da curva verde de 0 até π 3 . Como há simetria, podemos calcular esta área acima do eixo e multiplicar por 2.

Passo 3

Sabemos que a fórmula para a área em coordenadas polares é:

0,5 ∫ a b ρ ² d θ

Aplicando os limites de integração:

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

∫ π 3 π 1 ² d θ +   0,5   ∫ 0 π 3 ( 2 - 2 c o s ⁡ ( θ ) ) ² d θ =     ∫ π 3 π 1 d θ +   ∫ 0 π 3 4   - 8 cos ⁡ θ + 4 cos ⁡ θ 2 d θ

Como cos²( θ ) = 1 2 + c o s 2 θ 2

∫ π 3 π 1 d θ + ∫ 0 π 3 4   - 8 cos ⁡ θ + 4 ( 1 2 + c o s 2 θ 2 ) d θ

Resolvendo a integral simples e subsitituindo os limites de integração:

∫ π 3 π 1 d θ + ∫ 0 π 3 4   - 8 cos ⁡ θ + 4 1 2 + c o s 2 θ 2 d θ = 8 π 6 - 7 3 2

Multiplicando por 2, temos:

16 π 3 - 7 √ 3

Resposta

A área vale 16 π 3 - 7 √ 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são x = y 3 6 + 1 2 y De y = 2 a y = 3
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são y = 3 4 x 4 3 - 3 8 x 2 3 + 5 1 ≤ x ≤ 8
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são y = x 3 2 De x = 0 a x = 4
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são x = y 3 3 + 1 4 y De y = 1 a y = 3
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são x = y 4 4 + 1 8 y 2 De y = 1 a y = 2