Enunciado

Faça a antidiferenciação

int 5 x (2 + 3 x^2)^8 d x

Passo 1

Putz, aqui não temos nenhuma integral direto para fazer. Poderiamos abrir aquele polinômio de GRAU 8 , talvez não seja uma boa né? Hahahah

Mas como temos x^2 dentro do parêntes e x fora, vamos fazer uma substituição simples, com:

2 + 3 x^2 = a

Isso porque teremos:

d a = 6 x d x -> x d x = (d a)/(6)

E a nossa integral vai ficar:

int 5 x (2 + 3 x^2)^8 d x = int (5 a^8 d a)/(6) = (5)/(6) int a^8 d a

Passo 2

Resolvendo essa integral de a

(5)/(6) int a^8 d a

Vamos usar:

int a^n d x = (a^(n + 1))/(n + 1) , s e n != 1

Bora:

(5)/(6) int a^8 d a = (5)/(6) (a^(8 + 1))/(8 + 1) + C = (5)/(6) (a^9)/(9) + C = (5 a^9)/(54) + C

Precisamos voltar para x

a = 2 + 3 x^2

Entao:

= (5 a^9)/(54) + C = (5 (2 + 3 x^2)^9)/(54) + C

Resposta

(5 (2 + 3 x^2)^9)/(54) + C

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