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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 33

Nos Exercícios de 29 a 36, calcule a integral definida.

∫ e e 2 d x x ( ln ⁡ x ) ²

Passo 1

Vamos começar usando a integração por substituição.

Onde o nosso u será:

u = l n ⁡ ( x )

Encontrando o diferencial de u , teremos:

d u = 1 x d x

x d u = d x

Vamos agora fazer a substituição do d x na nossa integral:

∫ e e 2 d x x ( u ) ² = ∫ e e 2 x x ( u ) ² d u = ∫ e e 2 1 u 2 d u

Passo 2

Agora podemos resolver a integral:

∫ e e 2 u - 2 d u = - 1 u   ​ e e 2

Como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com o C.

Para terminar a integração por substituição podemos tanto trazer de volta a variável x , quanto levar os limites de integração para u também, vamos fazer esse segundo:

Como adotamos u = l n ⁡ ( x ) , nosso limite inferior ficará:

a = ln ⁡ e = 1

E o superior:

b = ln ⁡ e 2 = 2

Logo:

= - 1 u   ​ 1 2

Agora basta fazer a subtração com os limites da integral definida:

= - 1 2 + 1 = 1 2

Resposta

∫ e e 2 d x x ( ln ⁡ x ) ² = 1 2

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