Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital.

56.

Pra verificarmos a equação da assíntota vertical que vemos que deve existir no gráfico, podemos calcular o limite da função para quando tende a (+) infinito, usando a regra de L’Hôpital.

Vamos ter:

Se aplicamos diretamente na função, teríamos a indeterminação:

Essa indeterminação não nos permite usar diretamente a regra de L’Hôpital, portanto precisamos mexer um pouco na nossa função pra usá-la.

Existe uma propriedade matemática que diz o seguinte:

Reescrever nossa função dessa maneira e calcular o limite vai nos ajudar a chegar em uma indeterminação , passível de se usar a regra de L’Hôpital!

Vamos ter:

Como a função exponencial é contínua, vale a propriedade de que o limite dessa função equivale à função do limite. Como assim? Vejamos:

Agora só calculamos o limite e, no final, elevamos ao resultado que obtivermos!

Ainda temos, nesse caso, o problema de não poder aplicar L’Hôpital diretamente. A indeterminação não é passível pra aplicar a regra!

Dessa forma, podemos dividir o numerador e o denominador do conteúdo do logaritmo pra nos livrarmos da indeterminação que existe dentro dele. Assim, vamos ter:

Agora,a indeterminação que chegamos agora é , que nós podemos facilmente converter em trabalhando em cima de da seguinte forma:

Dessa forma, já podemos aplicar L’Hôpital e calcular o limite!

Derivando numerador e denominador (usando a regra da cadeia), vamos ter:

Aqui, continuamos com uma indeterminação. Só que agora do tipo . Nesse caso podemos aplicar de novo L’Hôpital, derivando numerador e denominador novamente. Vamos ter:

Dividindo numerador e denominador pelo termo de com maior grau do denominador, que é , temos:

Por fim, temos como resposta:

Então a equação da assíntota horizontal que temos é