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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 11

Faça a correspondência entre o campo vetorial F → e a figura rotulada de I - I V . Justifique suas escolhas.

F → x , y = y , x

Passo 1

Oi, galera! Tudo bem?

A questão nos dá 4 imagens de campos vetoriais e quer que a gente identifique qual delas descreve o campo:

F → x , y = y , x

Esse vetor tem componentes:

F → x , y = y   i + x   j

A componente i   aponta na direção x e a componente j na direção y . Então para cada direção temos uma função, aqui é a função y pra direção i e a função x para a direção j . Então para cada quadrante vamos analisar o comportamento dos pontos para as funções x e y e assim conseguimos entender para qual direção cada componente do vetor deve estar apontando, e assim identificar nosso campo correto.

Bora!

Passo 2

F → x , y = y   i + x   j

Vamos fazer a análise de cada quadrante de cada vez:

  • Primeiro quadrante, na região de x > 0 e y > 0 , as componentes dos vetores são positivas. Então as duas componentes do vetor devem estar apontando para a direção positiva, tanto do eixo x quanto do eixo y .

  • Segundo quadrante: No segundo quadrante, os valores das funções são negativas para x ( x < 0 ) e positivas para y ( y > 0 ) .

    • F → x , y = y   i + x   j

    Então nesse quadrante os vetores devem ter componentes horizontais positivas e verticais negativas.

  • No terceiro quadrante: ambas as componentes são negativas, já que os valores de x e y também são negativos.

  • No quarto quadrante: as componentes verticais são positivas e horizontais são negativas, já que y é negativo e x é positivo.

Então, campo vetorial F → x , y = y , x     pertence ao gráfico I I .

Além disso, quanto mais perto da origem, menores são os vetores, já que menores são os valores de x e y . Quanto mais longe, maiores.

Resposta

I I

.

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