Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 30
Faça um esboço do gráfico da função dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos, de ; os pontos de inflexão do gráfico de ; os intervalos nos quais é crescente aqueles onde é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côcavo para baixo; A inclinação das tangentes inflexionais, as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.
Passo 1
Que textão de questão hein!! Mas calma, olhando ela por partes verá que é bem tranquila, na verdade. Antes de tudo, é importante olhar algo que a questão não pede: o domínio onde a função está definida. Para isso, basta olhar que o que fica em baixo da raíz deve ser maior ou igual a zer, logo:
Logo, . Assim sabemos que o gráfico só vai existir no intervalo .
Passo 2
Agora vamos calcular os extremos da função tirando a derivada e igualando a 0:
Então existem dois pontos onde a derivada é zero, é o ponto para e. Para encontrar os pontos basta aplicar esses valores de x na função:
Primeiro ponto:
Segundo ponto:
Logo os dois pontos extremos da função são:
Passo 3
Para descobrir os pontos crescentes e decrescentes da função, basta fazer um estudo do sinal da função.
Encontrando o intervalo para o qual a função derivada é positiva:
Logo a função é crescente no intervalo .
Encontrando o intervalo para o qual a função derivada é negativa:
Mas o domínio da função estárestrito ao intervalo , logo a função é decrescente apenas nos intervalos e .
Passo 4
Não fica cansado que a questão tá quase acabando, agora falta só analisar os intervalos onde a concavidade é para cima e os intervalos onde a concavidade é para baixo. Para isso, fazemos um estudo do sinal da segunda derivada;
Concavidade para cima, segunda derivada é positiva:
Logo a concavidade é para cima no intervalo [-5, 0)
Concavidade para baixo, segunda derivada é negativa:
Logo a concavidade é para baixo no intervalo (0, 5]
Passo 5
Agora é só reunir todas as informações descobertas até agora em um esboço do gráfico:
Resposta
Extremos Relativos: ;
Crescente no intervalo ;
Decrescente nos intervalos e ;
Concavidade para cima no intervalo [-5, 0);
Concavidade para baixo no intervalo (0, 5];