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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 41

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

f x = x 2 + 1 x 2 - 1

Passo 1

Primeiramente, vamos observar que essa função é racional. Então quando o denominador for 0 , esse número não estará na função

x 2 - 1 = 0

x = ± 1

Isso é importante porque, fora na assíntota vertical, não vamos ter nada rolando nesse ponto. Temos sempre que tirá-lo das análises.

Agora olharando as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vamos calcular esses limites. Como temos um polinômio, temos que fazer aquele passo a passo para fração de polinômios, só que para aquela expressão só. Vamos ver como vai ficar isso.

Passo 2

Nosso numerador é

x 2 + 1

Colocnado o x 2 em evidência:

x 2 1 + 1 x 2

Passo 3

Nosso denominador é

x 2 - 1

Colocando x 2 em evidência, vamos ter:

x 2 1 - 1 x 2

Passo 4

Agora vamos aos limites. Primeiro:

lim x → + ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 1 + 0 1 - 0 = 1

Opa, temos uma assíntota horizontal deste lado

y = 1

Passo 5

O outro vai ser:

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 1 - 1 x 2 = 1 + 0 1 - 0 = 1

Opa, temos uma assíntota horizontal deste lado

y = 1

Passo 6

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Mas temos as assíntotas horizontais, então não teremos oblíquoas.

Passo 7

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para ∞ . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 . Que vai ser o nosso

x = ± 1

Que já achamos. Precisamos analisar a assíntota antes e depois do 1 para ver se de fato temos assíntotas verticais.

lim x → - 1 + ⁡ f x

E

lim x → - 1 ⁡ f x

lim x → 1 + ⁡ f x

E

lim x → 1 - ⁡ f x

Passo 8

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = - 1 2 + 1 - 1 2 - 1 = 2 0

Opa, deu um número divido por 0 , então ele vai dar ∞ , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser sempre positivo, porque x 2 é sempre positivo e somando 1 mantém positivo.

Nosso denominador vai ter x 2 se aproximando de 1 por valores maiores que 1 . Isso porque x se aproxima de - 1 por valores maiores que - 1 , seria tipo - 0,9 e por aí vai.

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica menor que 1 por conta do sinal. Entao x 2 - 1 é negativo.

A nossa fração será negativa, então

lim x → - 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = - 1 2 + 1 - 1 2 - 1 = 2 0 = - ∞

Então

x = - 1

É assíntota vertical

Passo 9

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = - 1 2 + 1 - 1 2 - 1 = 2 0

Opa, deu um número divido por 0 , então ele vai dar ∞ , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser sempre positivo, porque x 2 é sempre positivo e somando 1 mantém positivo.

Nosso denominador vai ter x 2 se aproximando de 1 por valores menores que 1 . Isso porque x se aproxima de - 1 por valores menores que - 1 , seria tipo - 1,1 e por aí vai.

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica maior que 1 por conta do sinal. Entao x 2 - 1 é positivo.

A nossa fração será positiva, então

lim x → - 1 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = - 1 2 + 1 - 1 2 - 1 = 2 0 = + ∞

Então

x = - 1

É assíntota vertical

Passo 10

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = 1 2 + 1 1 2 - 1 = 2 0

Opa, deu um número divido por 0 , então ele vai dar ∞ , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser sempre positivo, porque x 2 é sempre positivo e somando 1 mantém positivo.

Nosso denominador vai ter x 2 se aproximando de 1 por valores maiores que 1 . Isso porque x se aproxima de 1 por valores maiores que 1

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica maior que 1 . Entao x 2 - 1 é positivo.

A nossa fração será positiva, então

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = 1 2 + 1 1 2 - 1 = 2 0 = + ∞

Então

x = 1

É assíntota vertical

Passo 11

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = 1 2 + 1 1 2 - 1 = 2 0

Opa, deu um número divido por 0 , então ele vai dar ∞ , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso numerador vai ser sempre positivo, porque x 2 é sempre positivo e somando 1 mantém positivo.

Nosso denominador vai ter x 2 se aproximando de 1 por valores menores que 1 . Isso porque x se aproxima de 1 por valores menores que 1

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica menor que 1 . Entao x 2 - 1 é negativo.

A nossa fração será negativa, então

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = 1 2 + 1 1 2 - 1 = 2 0 = - ∞

Então

x = 1

É assíntota vertical

Passo 12

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

Para achar a derivada, vamos usar a regra do quociente:

f ' x = x 2 + 1 ' x 2 - 1 - x 2 + 1 x 2 - 1 ' x 2 - 1 2

f ' x = 2 x x 2 - 1 - x 2 + 1 2 x x 2 - 4 2

f ' x = 2 x 3 - 2 x - 2 x 3 - 2 x x 2 - 1 2

f ' x = - 4 x x 2 - 1 2

Como o denominador é sempre positivo, a nossa derivada vai depender so de - 4 x

- 4 x > 0 → x < 0

- 4 x < 0 → x > 0

Assim:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ - 1,0

f ' x < 0 ⟷ x ∈ 0,1 ∪ 1 , + ∞

Mas porque separamos no 1 e - 1 ? Lembra lá no inicio que vimos que ele não está na função? Então de lá para frente devemos tirá-lo da conta de tudo, menos assíntota vertical.

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ - 1,0

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ 0,1 ∪ 1 , + ∞

Passo 13

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

x = 0 → m á x i m o

Passo 14

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do quociente:

f ' ' x = - 4 x ' x 2 - 4 2 - - 4 x x 2 - 1 2 ' x 2 - 1 4

f ' ' x = - 4 x 2 - 1 2 + 4 x 2 x 2 - 1 2 x x 2 - 1 4

f ' ' x = - 4 x 2 - 1 2 + 16 x 2 x 2 - 1 x 2 - 1 4

Colocando 4 x 2 - 1 em evidência no numerador:

f ' ' x = 4 x 2 - 1 - ( x 2 - 1 ) + 4 x 2 x 2 - 1 4

f ' ' x = 4 x 2 - 1 3 x 2 + 1 x 2 - 1 4

Simplificando x 2 - 1

f ' ' x = 4 3 x 2 + 1 x 2 - 1 3

O sinal depende x 2 - 1 . Vamos olhar o gráfico de x 2 - 1 .

Ele vai ser negativo entre - 1 e 1 , e positivo no resto.

f ' ' x < 0 ⟺ x ∈ - 1,1

f ' ' x > 0 ⟺ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , + ∞

Então:

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ - 1,1

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , + ∞

Isso também nos diria que x = - 1 e x = 1 são pontos de inflexão, mas eles não estão na função.

Passo 15

Agora vamos juntar todas as informações:

Assintotas horizontais:

y = 1

Assíntotas verticais:

x = - 1

Onde x → - 1 - , f x → + ∞ , e x → - 1 + , f x → - ∞

x = 1

Onde x → 1 - , f x → - ∞ , e x → 1 + , f x → + ∞

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ - 1,0

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ 0,1 ∪ 1 , + ∞

x = 0 → m á x i m o

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ - 1,1

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , + ∞

O gráfico vai ficar:,

Resposta

Assintotas horizontais:

y = 1

Assíntotas verticais:

x = - 1

Onde x → - 1 - , f x → + ∞ , e x → - 1 + , f x → - ∞

x = 1

Onde x → 1 - , f x → - ∞ , e x → 1 + , f x → + ∞

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ - 1,0

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ 0,1 ∪ 1 , + ∞

x = 0 → m á x i m o

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟺ x ∈ - 1,1

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , + ∞

O gráfico vai ficar:,

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