Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de ;

Os pontos de inflexão do gráfico de ;

Os intervalos em que é crescente

Os intervalos em que é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

Nosso numerador é

Não precisamos colocar nada em evidência.

Nosso denominador é

Colocando em evidência, vamos ter:

Agora vamos aos limites. Primeiro:

Vai ficar:

Opa, temos uma assíntota horizontal deste lado

O outro vai ser:

Vai ficar:

Opa, temos uma assíntota horizontal deste lado

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Mas temos as assíntotas horizontais, então não teremos oblíquoas.

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Que vai ser o nosso

Que já achamos. Precisamos analisar a assíntota antes e depois do para ver se de fato temos assíntotas verticais.

E

E

Opa, deu um número divido por , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso muerador vai ficar bem próximo de , porque é o próprio , então é negativo.

Nosso denominador vai ter se aproximando de por valores menores que . Isso porque se aproxima de por valores maiores que , seria tipo e por aí vai.

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica menor que por conta do sinal. Entao é negativo.

A nossa fração será positiva, então

Então

É assíntota vertical

Opa, deu um número divido por , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso muerador vai ficar bem próximo de , porque é o próprio , então é negativo.

Nosso denominador vai ter se aproximando de por valores maiores que . Isso porque se aproxima de por valores maiores que , seria tipo e por aí vai.

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica maior que por conta do sinal. Entao é negativo.

A nossa fração será negativa, então

Então

É assíntota vertical

Opa, deu um número divido por , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso muerador vai ficar bem próximo de , porque é o próprio , então é positivo.

Nosso denominador vai ter se aproximando de por valores maiores que . Isso porque se aproxima de por valores maior que

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica maior que . Entao é positivo.

A nossa fração será positiva, então

Então

É assíntota vertical

Opa, deu um número divido por , então ele vai dar , é uma assíntota vertical. Cabe agora descobrir o sinal para o esboço do gráfico.

O nosso muerador vai ficar bem próximo de , porque é o próprio , então é positivo.

Nosso denominador vai ter se aproximando de por valores menores que . Isso porque se aproxima de por valores menores que .

Quando elevamos ao quadrado, esse valor fica menor que . Entao é negativo.

A nossa fração será negativa, então

Então

É assíntota vertical

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Para achar a derivada, vamos usar a regra do quociente:

Vamos colocar o em evidência no numerador que fica mais fácil de analisar o sinal.

Como o denominador é sempre positivo e o tambem, aquele vai fazer com que a derivada seja sempre negativa

Assim:

Mas porque separamos no 2 ? Lembra lá no inicio que vimos que ele não está na função? Então de lá para frente devemos tirá-lo da conta de tudo, menos assíntota vertical.

A função é crescente se e decrescente se , então:

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Não vamos ter extremos porque a função é sempre decrescente

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do quociente:

Colocando em evidência no numerador:

Simplificando

Colocando em evidência em

O sinal depende

Vamos montar o quadro de sinais.

Assim

Então:

Isso também nos diria que e são pontos de inflexão, mas eles não estão na função. Mas está, então ele é ponto de inflexão;

Agora vamos juntar todas as informações:

Assintotas horizontais:

Assíntotas verticais:

Onde , , e ,

Onde , , e ,

ponto de inflexão

A tangente de inflexão vai ser:

O gráfico vai ficar:,