Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 13
- Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
- Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
- Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.
Passo 1
Vamos substituir alguns pontos do intervalo na função e observar seu comportamento a fim de auxiliar no esboço do gráfico da função.
Observe que, como é um quociente, é preciso garantir que seu denominador seja sempre diferente de zero. Assim:
Como , temos que não será contínua neste intervalo. Observe que a função terá um comportamento assintótico a medida que se aproxima de , pois seu denominador aproximará de 0 enquanto seu numerador tenderá a .
Fazendo o esboço de no intervalo temos:
Passo 2
Como vimos, a função não está definida quando . Como , temos que não será contínua neste intervalo. Logo, também não será derivável em , pois, para ser derivável, a função precisa ser contínua. Por outro lado, .
Resposta
Portanto, só satisfaz uma das três condições do teorema de Rolle, logo não é possível aplicá-lo.