Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 76a
Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão verificadas no intervalo dado. Caso não estejam, indique quais hipóteses estão falhando; se estiverem, encontre todos os valores de garantidos na conclusão do teorema.
(a) em
Passo 1
As hipóteses do Teorema do Valor Médio são:
- contínua no intervalo
- diferenciável em
Se elas forem atendidas, a gente diz que há pelo menos um , tal que:
Vamos avaliar a função e o intervalo que ele deu com base nessas informações aí. Vem comigo!
Passo 2
A primeira coisa é ver se a função é contínua no intervalo. Essa função é definida como:
Precisamos verificar a continuidade no ponto :
Como todos esses valores são iguais, a função é contínua.
Passo 3
Agora repara que para valores próximos de mas menores que , a derivada fica:
Mas para valores maiores que :
Isso mostra que a derivada da nossa função não é contínua em , porque os limites laterais dela deram valores diferentes.
Sendo assim, nossa função não é diferenciável no intervalo . E isso quebra a segunda hipótese.
Resposta
Falta uma hipótese. não é diferenciável no intervalo aberto dado.