Faça o gráfico da curva y = x \* e^(-x^2)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) =   x e - x 2

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0   , temos que f x = 0 , ou seja,

f 0 = 0 . e - 0 2 = 0 e 0 = 0.1 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do produto teremos,

f ' x = 1 e - x 2 + x e - x 2 ( - 2 x )

= e - x 2 - 2 x 2 e - x 2

= e - x 2 ( 1 - 2 x 2 )

Calculando a segunda derivada utilizando a regra do produto

f ' ' x = e - x 2 1 - 2 x 2

= e - x 2 . - 2 x 1 - 2 x 2 +   e - x 2 ( 2 . ( - 2 x ) )

= - 2 x   e - x 2 1 - 2 x 2 +   - 4 x e - x 2

= - 2 x   e - x 2 [ 1 - 2 x 2 - 2 ]

= - 2 x   e - x 2 [ 2 x 2 - 1 ]

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = e - x 2 1 - 2 x 2 = 0

Como e x nunca se anula, então f ' x = 0 quando x = ± 1 2 , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 1 2 )   x = - 1 2     , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( - 1 2 , 0 )     x = - 1 2     , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = - 1 2 é um ponto de minimo no intervalo de ( - ∞ , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 1 2 , ∞ )   x = 1 2     , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 2 )     x = 1 2     , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 1 2 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0 , + ∞ ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = - 2 x   e - x 2 [ 2 x 2 - 1 ] = 0

Como e x nunca se anula, então f ' x = 0 quando x = ± 1 2 , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão e   quando x = 0 .

Sendo assim temos três candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades deles.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 1 2 )   x = - 1 2     , f ( x ) assume valores positivo (concavidade cima ). E para valores dentro do intervalo ( - 1 2 , 0 )     x = - 1 2     , f ( x ) irá assumir valores positivos (concavidade cima). Logo, x = - 1 2 é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 1 2 , ∞ )   x = 1 2     , f ( x ) assume valores negativos (concavidade cima). E para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 2 )     x = 1 2     , f ( x ) irá assumir valores negativos (concavidade cima). Logo, x = 1 2 é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0 , + ∞ ) .

Já, para valores próximos de 0 pela esquerda f ( x ) irá assume valores positivos (concavidade para cima). Já para valores próximos de   0   pela direita, f ( x ) também irá assumir valores negativos (concavidade para baixo ). Logo, há mudança de sinal.

Sendo assim, x = 0     n é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais , perceba que podemos reescrever f ( x ) como :

f x = x e x 2

Sendo assim quando tomarmos o limites teremos

lim x → ± ∞ ⁡ f x = lim x → ±  ∞ ⁡ f x = x e x 2 = ∞ ∞  

Sendo assim podemos utilizar a regra de L’hospital , ou seja, derivando em cima e em baixo,

lim x → ±  ∞ ⁡ f x = 1 2 x e x 2 = 0

Logo, f x possui uma assíntota horizontal em zero.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Logo,   f x não possui assíntotas verticais.

Resposta

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