Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 38
Faça o gráfico da curva
Passo 1
Inicialmente vamos considerar e observar o que essa função tem a nos “dizer”.
Observe que o domínio de corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)
Sendo assim, o gráfico de não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.
Passo 2
Em seguida verificaremos, se possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo
Com isso percebemos que para temos que ou seja,
Logo, o gráfico de toca o eixo apenas uma vez.
Passo 3
Determinaremos agora e , para em seguida verificarmos se possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,
Pela regra do produto teremos,
Calculando a segunda derivada utilizando a regra do produto
Passo 4
Vamos agora identificar se possui pontos críticos
Em relação aos pontos de críticos temos que
Como nunca se anula, então quando , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão
Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.
Perceba que , para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos (crescente). Logo, é um ponto de minimo no intervalo de
Já, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos (crescente). Logo, é um ponto de máximo no intervalo de
Passo 5
Vamos agora identificar se possui pontos de inflexão
Em relação aos pontos de inflexão temos que
Como nunca se anula, então quando , já que este valor é uma raíz para o polinômio de dentro da expressão e quando .
Sendo assim temos três candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades deles.
Perceba que , para valores dentro do intervalo , assume valores positivo (concavidade cima ). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos (concavidade cima). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de
Já, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (concavidade cima). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos (concavidade cima). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de
Já, para valores próximos de pela esquerda irá assume valores positivos (concavidade para cima). Já para valores próximos de pela direita, também irá assumir valores negativos (concavidade para baixo ). Logo, há mudança de sinal.
Sendo assim, n é um ponto de inflexão para , ou seja, há mudança de concavidade.
Passo 6
Para finalizar verificaremos se possui assíntotas verticais ou horizontais.
No que se refere as assíntotas horizontais , perceba que podemos reescrever como :
Sendo assim quando tomarmos o limites teremos
Sendo assim podemos utilizar a regra de L’hospital , ou seja, derivando em cima e em baixo,
Logo, possui uma assíntota horizontal em zero.
No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto no domínio de que faça com que
Logo, não possui assíntotas verticais.
Resposta
