Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 31

Faça um gráfico completo de indique os limites quando e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado).

Passo 1

Vamos começar calculando os limites:

Vamos pensar um pouco. Como está elevado ao quadrado na função, esses limites serão iguais. E já que se:

Calcular esses limites, seria o mesmo que calcular esse limite:

Podemos fazer duas substituições e tentar calcular esse limite por dois caminhos. A primeira é fazer a substituição:

Sendo um número inteiro, nosso limite fica:

Mas se a gente usar a substituição:

A gente vê que usando caminhos diferentes, esse limite dá valores diferentes, isso significa que ele não existe. Então vamos dizer que:

E vemos também que não temos assíntotas horizontais.

Passo 2

Para localizar os extremos relativos, precisamos calcular os valores de quando

Vemos que ele só zera em . Vamos fazer o teste da derivada segunda para classificar esse ponto. Vamos derivar com cuidado usando as regras do produto e da cadeia:

Como o valor da segunda derivada no ponto foi positivo, a gente tem que esse é um ponto de mínimo local.

Passo 3

Os pontos de inflexão ficam onde :

E como essa equação é muito complicada para resolver a mão, a gente deixa indicado que nossa função vai mudar de concavidade nos valores de que satisfazem essa equação.