Enunciado

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,   lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,   lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Nestes exercícios:

a) use esses limites, se necessário, para obter limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

53. f x = x 2 e 1 - x

Passo 1

a) Então galera, temos que a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = x 2 e 1 - x

Se calcularmos os limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e 1 - x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e 1 - x = + ∞

Show! Primeira parte finalizada!

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 2 x . e 1 - x - x 2 . e 1 - x

f ' x = e 1 - x 2 x - x 2

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

e 1 - x 2 x - x 2 = 0

Como e 1 - x nunca será zero, então a única forma disso dar zero é se:

2 x - x 2 = 0

x - x + 2 = 0

A primeira possibilidade é:

x = 0

A segunda possibilidade é:

- x + 2 = 0

x = 2

Então esses são os nossos possíveis pontos de extremos, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = - e 1 - x . 2 x - x 2 + e 1 - x . 2 - 2 x

f ' ' x = e 1 - x 2 - 2 x + x 2 - 2 x = e 1 - x 2 - 4 x + x 2

Como e 1 - x nunca será zero, então a única forma disso dar zero é se:

2 - 4 x + x 2 = 0

Utilizando Bhaskara, teremos:

x = 4 ± 16 - 4 . 1.2 2 = 4 ± 2 2 2

x 1 = 2 + 2 = 3,41

x 2 = 2 - 2 = 0,59

Então esses são os nossos pontos de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo os valores de x que encontramos na nossa função, teremos:

f 0 = 0

f 2 = 4 e

f 3,41 = 1,04

f 0,59 = 0,52

Show! Encontramos todos os dados solicitados pelo enunciado, pessoal! Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ x 2 e 1 - x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e 1 - x = + ∞

b) Pontos de extremos relativos: x = 0   e   x = 2 ;

Pontos de inflexão: x = 3,41   e   x = 0,59 ;

Gráfico:

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