Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 15g
Seguindo as etapas apresentadas em fazer um esboço do gráfico da seguinte função:
Passo 1
O primeiro passo é determinar o domínio da função, ou seja, .
A nossa função pode ser escrita como:
Ela possui uma indeterminação, ou seja, ela não existe nos reais em , pois não existe raiz real de números negativos. Logo:
Passo 2
Podemos agora determinar os pontos de intersecção com os eixos.
A intersecção está no encontro dos eixos .
E:
Passo 3
Agora vamos determinar os pontos críticos da função. Para isso basta calcular a primeira derivada da função, iguala-la a zero e isolar a variável .
Temos então que:
Em , temos um ponto crítico.
Passo 4
O próximo passo é determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de .
Como , a função é sempre crescente.
Passo 5
Vamos determinar os pontos de máximos e mínimos relativos. Podemos aplicar o teste da segunda derivada.
O teste da segunda derivada diz que:
- Se , tem um valor máximo relativo em .
- Se , tem um valor mínimo relativo em.
Como o nosso ponto crítico é em e possui no denominador, esse ponto crítico não pode ser aplicado a (pois não existe divisão por zero), logo a função não possui máximos nem mínimos .
Passo 6
Determinando agora a concavidade e os pontos de inflexão, ainda pelo teste da segunda derivada.
Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se é uma função contínua em um certo intervalo e derivável até 2ª ordem no intervalo , temos que:
- Se
- Se
Como não temos pontos de inflexão e a concavidade é voltada para cima.
Passo 7
Devemos analisar se a função possui assíntotas. Como nossa função não possui pontos de indeterminação, precisamos calcular o limite da função com . Se o resultado do limite for infinito, ela não possui assíntota. Assim:
Logo a função não possui assíntotas.
Passo 8
Por fim, esboçamos o gráfico da função:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)