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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 54

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(x^2) e^(1 // x) sec (1 + e^(1 // x)) tan (1 + e^(1 // x)) d x

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável do ângulo da secante:

u = 1 + e^(1 // x)

Derivando dos dois lados:

d u = (0 + (1 // x)^' e^(1 // x)) d x = ((1 // x)^' e^(1 // x)) d x = - (e^((1)/(x)))/(x^2) d x

- d u = (e^((1)/(x)))/(x^2) d x

Substituindo na integral:

int (1)/(x^2) e^((1)/(x)) sec (1 + e^((1)/(x))) tan (1 + e^((1)/(x))) d x = int sec (1 + e^((1)/(x))) tan (1 + e^((1)/(x))) * (e^((1)/(x)))/(x^2) d x

- int sec (u) tan (u) d u

Passo 2

Vamos resolver a integral agora:

- int sec (u) tan (u) d u = - sec u

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

- sec u = - sec (1 + e^((1)/(x))) + C

Fim!!!

Resposta

- sec (1 + e^((1)/(x))) + C

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