Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 2

Faça o gráfico da função

Em seguida discuta em detalhes, os limites, limites lateria s continuidade e continuidade lateral de em e . Algumas dessas continuidades é removível? Explique

Passo 1

O primeiro passo é lembrar as definições de continuidade e continuidade lateral. Sendo assim,

Pelo teste de continuidade temos que uma é continua em (ponto qualquer) se e somente se,

existir (pertencer ao domínio de
existir ( possui um limite quando )
(o limite é igual ao valor da função no ponto )

Já para continuidade lateral, temos que é continua no ponto , se

Passo 2

O segundo passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em

Mas para isso temos que analisar com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando estamos com valores menores que , então ,

Quando estamos com valores maiores que , então ,pois aplicaremos o módulo ao .

Logo,

Quando isso acontece dizemos que esse limite não existe.

Verificando a continuidade

Vimos que

Fazendo com que o limite não existisse, sendo assim também não poderá existir.

Portanto, como não existe, então é descontinua em

Passo 3

O terceiro passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em

Para isso temos que avaliar com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando estamos com valores menores que zero, então ,pois aplicaremos o módulo ao .

Isso acontece pois estamos com valores negativos.

Quando estamos com valores maiores que zero, então ,pois aplicaremos o módulo ao .

Logo,

Quando isso acontece dizemos que esse limite não existe.

Verificando a continuidade

não existe, pois não pertence ao domínio da .

Portanto, como não pertence ao domínio da Então é descontinua em

Perceba que zero pertencer ao domínio da , não faz muita diferença pois o papel dele é simplesmente dar um “salto” na função de depois voltar para o caminho que ela estava seguindo, quando isso acontece dizemos que essa descontinuidade é removível

Passo 4

O quarto passo é verificar a continuidade e a continuidade lateral em

Mas para isso temos que analisar com cuidado,

Verificando a continuidade lateral

Quando estamos com valores menores que , então , pois aplicaremos o módulo ao .

Quando estamos com valores maiores que , então ,

Logo,

Portanto, é continua lateralmente em

Verificando a continuidade

Vimos pela continuidade lateral que

Se tanto pela esquerda quanto pela direita o limite deram 1 , então

Porém, quando isso acontece

Como então é descontinua em

Perceba que o fato de 1 pertencer ao domínio da , não faz muita diferença pois o papel dele é simplesmente dar um “salto” na função de depois voltar para o caminho que ela estava seguindo, quando isso acontece dizemos que essa descontinuidade é removível