Enunciado

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S .

F → = x i → + y j → + x y z k → , S é a parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante, orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!

Ela diz para a gente ver se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial

F → = x i → + y j → + x y z k →

Na região S que é a parte do plano

2 x + y + z = 2

Que está no primeiro octante, orientado para cima.

Primeiro octante é onde x , y , z são positivos!

Vamos relembrar o Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

E vamos relembrar como se calcula o rotacional:

∇ × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Portanto, vamos ter que calcular as duas integrais, tanto a de linha quanto a dupla para verificar o teorema.

A primeira coisa que vamos fazer é ver como é a região, depois vamos calcular a integral de linha. Depois disso, vamos calcular a integral dupla com o rotacional e comparar os resultados.

Bora lá?

Passo 2

Vamos fazer é ver como é essa região. Saca só esse desenho:

Então, para calcular ∫ C F → ⋅ d r →   a região de fronteira são três curvas c 1 ,   c 2 e c 3 . Então:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ c 1 F → ⋅ d r → + ∫ c 2 F → ⋅ d r → + ∫ c 3 F → ⋅ d r →

Vamos por partes?

Passo 3

Primeiro para a curva c 1 .

No plano z y a equação fica y = 2 - z . Uma parametrização possível é:

x = 0 y = 2 - t z = t                       0 ≤ t ≤ 2

O vetor r → ( t ) é:

r → t = 0,2 - t , t

E a derivada d r → t :

d r → t = 0 , - 1,1 d t

O campo vetorial F → nas novas variáveis de parametrização é:

F → t = 0,2 - t , 0

E o produto escalar entre F → e d r → é: F → ⋅ d r → = 0,2 - t , 0 ⋅ 0 , - 1,1 d t = ( t - 2 ) d t

Agora é s�� integrar! Bora lá?

∫ 0 2 ( t - 2 ) d t = t 2 2 - 2 t 0 2 = - 4 + 2 = - 2

Passo 4

Para a curva c 2 :

No plano x y a equação fica y = 2 - 2 x . Uma parametrização possível é:

x = 1 - t y = 2 t z = 0                       0 ≤ t ≤ 1

O vetor r → ( t ) é:

r → t = 1 - t , 2 t , 0

E a derivada d r → t :

d r → t = - 1,2 , 0 d t

O campo vetorial F → nas novas variáveis de parametrização é:

F → t = 1 - t , 2 t , 0

E o produto escalar entre F → e d r → é: F → ⋅ d r → = 1 - t , 2 t , 0 ⋅ - 1,2 , 0 d t = ( 5 t - 1 ) d t

Agora é só integrar! Bora lá?

∫ 0 1 ( 5 t - 1 ) d t = 5 t 2 2 - t 0 1 = 5 2 - 1 = 3 2

Passo 5

Vamos pra última curva?? 😁

Para a curva c 3 :

No plano x z a equação fica z = 2 - 2 x . Uma parametrização possível é:

x = 1 - t y = 0 z = 2 t                       1 ≤ t ≤ 0

O vetor r → ( t ) é:

r → t = 1 - t , 0,2 t

E a derivada d r → t :

d r → t = - 1,0 , 2 d t

O campo vetorial F → nas novas variáveis de parametrização é:

F → t = 1 - t , 0,0

E o produto escalar entre F → e d r → é: F → ⋅ d r → = 1 - t , 0,0 ⋅ - 1,0 , 2 d t = ( t - 1 ) d t

Agora é só integrar! Bora lá?

∫ 1 0 ( t - 1 ) d t = t 2 2 - t 1 0 = - 1 2 + 1 = 1 2

Passo 6

Ufa! Agora é só somar todos esses resultados!

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ c 1 F → ⋅ d r → + ∫ c 2 F → ⋅ d r → + ∫ c 3 F → ⋅ d r →

∫ C F → ⋅ d r → = - 2 + 3 2 + 1 2 = 0

Mas! Tudo isso pra dar zero no final! Kkkk Agora vamos a outra parte do teorema!

Passo 7

Para começar vamos calcular o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y x y z

Resolvendo o determinante:

∇ × F → = i → ∂ ∂ y ( x y z ) - ∂ ∂ z ( y ) + j → ∂ ∂ z ( x ) - ∂ ∂ x ( x y z ) + k → ∂ ∂ x ( y ) - ∂ ∂ y ( x )

Temos então:

∇ × F → = x z , - y z , 0

Passo 8

Agora vamos encontrar a função z = g x , y .

Como a região S é a parte do plano 2 x + y + z = 2 do primeiro octante, então a função z é:

z = g x , y = 2 - y - 2 x

E o vetor normal à superfície é:

n → = - ∂ g ∂ x ,   - ∂ g ∂ y ,   1

Aplicando na função g temos:

n → = 2,1 , 1

E o produto escalar entre ∇ × F → e n → é:

∇ × F → ⋅ n → = x z , - y z , 0 ⋅ 2,1 , 1

∇ × F → ⋅ n → = 2 x z - y z

Substituindo z pelo que achamos anteriormente:

∇ × F → ⋅ n → = 2 x 2 - y - 2 x - y 2 - y - 2 x

Passo 9

Agora vamos ver a região de integração. Saca só no desenho:

No plano x y , temos a reta:

y = 2 - 2 x

E os limites de integração vão ser:

0 ≤ y ≤ 2 - 2 x 0 ≤ x ≤ 1

E o diferencial de área vai ser:

d A = d y d x

Passo 10

Agora é só colocar na integral!

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

Substituindo tudo que achamos

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x 2 x 2 - y - 2 x - y ( 2 - y - 2 x ) d y d x

Fazendo a distributiva:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x 2 x 2 - y - 2 x - y ( 2 - y - 2 x ) d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x 4 x - 4 x 2 - 2 y + y 2 d y d x

Resolvendo para y :

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x 4 x - 4 x 2 - 2 y + y 2 d y d x = ∫ 0 1 4 x y - 4 x 2 y - y 2 + y 3 3 0 2 - 2 x d x

Aplicando nos limites temos:

∫ 0 1 4 x 2 - 2 x - 4 x 2 2 - 2 x - 2 - 2 x 2 + 2 - 2 x 3 3 d x

Abrindo os produtos notáveis e agrupando os termos comuns teremos:

∫ 0 1 16 3 x 3 - 12 x 2 + 8 x - 4 3 d x

Resolvendo para x :

∫ 0 1 16 3 x 3 - 12 x 2 + 8 x - 4 3 d x = 16 3 x 4 4 - 12 x 3 3 + 8 x 2 2 - 4 x 3   0 1

Aplicando os limites temos:

16 3 x 4 4 - 12 x 3 3 + 8 x 2 2 - 4 x 3   0 1 = 16 12 - 12 3 + 8 2 - 4 3 - 0

Simplificando:

16 12 - 12 3 + 8 2 - 4 3 - 0 = 4 3 - 4 + 4 - 4 3

Portanto, temos:

4 3 - 4 + 4 - 4 3 = 0

E

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = 0

Eba! Encontramos o mesmo resultado da integral de linha! Sendo assim, verificamos o teorema 😁

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ C F → ⋅ d r → = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C 3 y + z d x + x + 4 y d y + 2 x + y d z = - 3 2 π a 2 4 Onde
Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C ( 2 x yd x + 1 - y z + x 2 + x d y + x 2 2 + e z d z = π Onde
Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C ( y + z 3 x 2 ) d x + 2 z + 5 x + y 3 d y + 4 y + z cos ⁡ x d
Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C y + z d x + z + x d y + x + y d z = 0 Onde C é a interseção d
Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C 8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3 Onde C é a fronteira do