Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.6 - Ex. 1
Faça gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente fazer seu gráfico de que revele todos os aspectos importantes da curva.
Para isso devemos usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão da função .
Então a ideia aqui é a gente relembrar o que cada uma dessas derivadas pode nos trazer de informações, assim poderemos traçar o gráfico de com todas as características necessárias.
Então vamos lembrar o que cada derivada conta pra gente.
A derivada de uma função é entendida como a inclinação da reta tangente a curva do gráfico da função.
Sabendo disso, podemos pensar que quanto mais positiva a derivada estiver, mais rapidamente a função original estará crescendo.
Assim:
Já a derivada de segunda ordem é a inclinação da reta tangente ao gráfico da primeira derivada e ela nos trará informações sobre o sentido da concavidade.
Assim:
O ponto de inflexão acontece onde a derivada de segunda ordem for igual a zero. Assim:
Agora que já sabemos de tudo isso, bora resolver essa questão.
Passo 2
Podemos começar traçando o gráfico da nossa função em um software como o geogebra.
Na janela de álgebra vamos colocar a função e plotar o gráfico, sendo:
De cara a gente consegue identificar os pontos onde , sendo eles: e , pra identificarmos precisamos dar um zoom um pouco mais pra cima:
Passo 3
Agora vamos plotar a curva de :
Como
Sua derivada pode ser calculada usando a regra do expoente em cada um dos termos. Lembrando que
Assim,
Daqui a gente consegue estimar que para , é decrescente em e e para é crescente em e com mínimo local em e máximo local para .
Passo 4
Por fim, derivando novamente nossa função
encontraremos
tem concavidade para cima para = e uma vez que nesses intervalos de . Para , tem concavidade para baixo em . Também podemos calcular os pontos de inflexão considerando o valores de onde muda de sinal. Para isso fazemos:
Resposta
Do gráfico de nós estimamos que para , é decrescente em e e para é crescente em e com mínimo local em e máximo local para .
E do gráfico de , nós estimamos que para , tem concavidade para cima em e e para , tem concavidade para baixo em .
Existem pontos de inflexão em e .