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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 38

  1. Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, confirme que o resultado é equivalente ao de (a).

∫ ln ⁡ x x 4 ln ⁡ x - 1 d x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

    u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

Então, podemos dizer que:

∫ ln ⁡ x x 4 ln ⁡ x - 1 d x = ∫ u 4 u - 1 d u    

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ u a + b u   d u = 2 3 b 2 b u - 2 a a + b u + C

Se a = - 1 e b = 4 :

∫ ln ⁡ x x 4 ln ⁡ x - 1 d x = 2 3 . 4 2 4 u + 2 4 u - 1 + C

Simplificando :

∫ ln ⁡ x x 4 ln ⁡ x - 1 d x = 1 24 4 u + 2 4 u - 1 + C

Substituindo u = ln ⁡ x :

∫ ln ⁡ x x 4 ln ⁡ x - 1 d x = 1 12 2 ln ⁡ x + 1 4 ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ ln ⁡ x x 4 ln ⁡ x - 1 d x = 1 12 2 ln ⁡ x + 1 4 ln ⁡ x - 1 + C

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